Veckans pussel

UTMANINGEN

De möjliga kvadraterna har sidlängder från 1 upp till 4.

För varje kvadratstorlek, tänk på det övre vänstra hörnet som startpositionen. Du kan skapa alla kvadrater av denna storlek i rutnätet genom att flytta runt denna startruta. Du har valet att flytta den till höger eller nedåt det återstående antalet positioner. Dessa är oberoende val, så du får i kvadrat av den storleken på kvadraten.

Anta till exempel att du räknar 1 gånger 1 rutor i detta 4 gånger 4-rutnät. En 1 gånger 1-ruta i det övre vänstra hörnet kan flyttas 1 eller 2 åt höger och 1 eller 2 nedåt. Så det finns 3 möjliga positioner horisontellt (räknat från ursprungspositionen) och 3 möjliga positioner vertikalt. Således finns det 3 x 3 av dessa 1 gånger 1-rutor.

För det ursprungliga 4x4-rutnätsproblemet ger detta följande antal:

• 1 gånger 1 rutor: 3 x 3 = 9
• 2 gånger 2 rutor: 2 x 2 = 4
• 3 gånger 3 rutor: 1 x 1 = 1.

Det finns totalt 3 x 3 + 2 x 2 + 1 x 1 = 9 + 4 + 1 = 14 möjliga rutor.

EXPLORATION

För alla kvadratiska rutnät kommer det totala antalet rutor att vara summan av de kvadrattal som är mindre än rutnätets storlek. Till exempel kommer ett 7 x 7-rutnät att ha 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91 rutor.

Rektangulära rutnät är nästan lika enkla att räkna. Den mindre av rektangelns två dimensioner begränsar den maximala storleken på de möjliga kvadraterna. Räkna dem på ett liknande sätt som i fallet med kvadratiskt rutnät. Istället för att göra det allmänna fallet, låt oss bara ta ett illustrativt exempel.

Anta att du räknar rutorna i ett 5 x 7-rutnät. Eftersom det bara finns 5 rader kan ingen ruta vara större än 4 x 4.

• 1 gånger 1 rutor: 4 x 6 = 24
• 2 gånger 2 rutor: 3 x 5 = 15
• 3 gånger 3 rutor: 2 x 4 = 8
• 4 gånger 4 rutor: 1 x 3 = 3

Det totala antalet rutor är 24 + 15 + 8 + 3 = 50.