ปริศนาประจำสัปดาห์

ความท้าทาย

นักเรียนกำลังทดลองหาจำนวนทั้งหมดที่สามารถสร้างขึ้นได้โดยการนำจำนวนใดๆ ที่เป็นพหุคูณของ 4 มาบวกกับจำนวนใดๆ ที่เป็นพหุคูณของ 7 โดยที่ไม่มีใครบอก พวกเขากำลังสังเกตสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทของเบซูต์ ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่า การรวมกันที่เป็นไปได้ทั้งหมดของพหุคูณ (ทั้งบวกและลบ) ของจำนวนสองจำนวน คือเซตของพหุคูณของตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนทั้งสอง ตัวหารร่วมมากที่สุดของ 4 และ 7 คือ 1 ดังนั้นเราจึงควรจะได้จำนวนที่เป็นไปได้ทั้งหมด และยิ่งไปกว่านั้น จะมีวิธีมากมายนับไม่ถ้วนที่จะได้แต่ละจำนวน

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 12:

• 1 = 4 + 4 – 7 = 9 x 4 – 5 x 7 = 16 x 4 – 9 x 7
• 2 = 7 + 7 – 4 – 4 – 4 = 6 x 7 – 10 x 4 = 10 x 7 – 17 x 4
• 3 = 7 – 4 = 5 x 7 – 8 x 4 = 9 x 7 – 15 x 4
• 4 = 4 = 4 x 7 – 6 x 4 = 8 x 7 – 13 x 4
• 5 = 3 x 4 – 7
• 6 = 2 x 7 – 2 x 4
• 7 = 7
• 8 = 2 x 4
• 9 = 3 x 7 – 3 x 4
• 10 = 2 x 7 – 4
• 11 = 4 + 7
• 12 = 3 x 4

เมื่อคุณได้วิธีหาตัวหารร่วมมากที่สุดแล้ว คุณสามารถใช้มันเพื่อหาผลคูณของตัวหารร่วมมากที่สุดได้ สำหรับ 4 และ 7 วิธีหนึ่งที่จะได้ 1 คือ 2 x 4 – 7 เราสามารถหาจำนวนอื่นๆ ได้ เช่น 23 โดยเขียน 23 = 23 (2 x 4 – 7) = 46 x 4 – 23 x 7 เมื่อเราได้คำตอบหนึ่งสำหรับจำนวนหนึ่งแล้ว เราสามารถหาคำตอบอื่นๆ ได้โดยการบวก 0 เข้าไป (ฉันรู้ว่ามันฟังดูแปลกๆ) ตัวอย่างเช่น เรามี 1 = 2 x 4 – 7 = (2 x 4 – 7) + (7 x 4 – 4 x 7) = 9 x 4 – 5 x 7) เราสามารถบวกผลคูณใดๆ ของ (7 x 4 – 4 x 7) เข้าไปได้โดยที่ค่าจะไม่เปลี่ยนแปลง

สำรวจ

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น กระบวนการนี้จะสร้างจำนวนที่เป็นผลคูณทั้งหมดของตัวหารร่วมมากของจำนวนทั้งสอง หากตัวหารร่วมมากนั้นคือ 1 ก็จะได้จำนวนทุกจำนวน

ลองพิจารณา 4 และ 6 เป็นตัวอย่าง ตัวหารร่วมมากของทั้งสองคือ 2 ผลรวมของจำนวนใดๆ ที่เป็นผลคูณของ 4 และ 6 จะเป็นจำนวนคู่เสมอ ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างจำนวนทุกจำนวนได้ จะเห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้นหากคิดว่า 4 และ 6 เป็น 2 คูณ 2 และ 3 คุณจะรู้ว่าผลรวมของจำนวนที่เป็นผลคูณของ 2 และ 3 จะสร้างจำนวนทุกจำนวนได้ เพราะพวกมันเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน อย่างไรก็ตาม 4 และ 6 จะนำผลรวมเหล่านั้นมาคูณด้วย 2 ดังนั้นจึงได้ผลลัพธ์เป็นผลคูณของ 2 ทั้งหมด!