Рівні суми – 4
ВИКЛИК
Ось діаграма, створена шляхом перекриття чотирьох кіл. Перекриваючі кола утворюють вісім областей. Помістіть число в кожну з восьми областей, використовуючи кожне з чисел від 1 до 8 рівно один раз, щоб сума чисел у кожному колі була однаковою.
ПОЯСНЕННЯ
Скільки різних відповідей ви можете знайти? Як ви думаєте, чи є ще якісь? Що станеться, якщо використовувати інші числові діапазони? Чи є інші цікаві задачі, подібні до цієї, з колами, що перетинаються?
примітки
ВИКЛИК ТА ДОСЛІДЖЕННЯ
Почніть з визначення можливих сум для спільної суми для всіх кіл. Нехай Сума буде цим значенням. Нехай A, B, C та D будуть значеннями чотирьох областей, де перетинаються два кола. Сума чотирьох кіл дорівнює 4 x Сума, а також 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + A + B + C + D. Тоді ми маємо рівняння 4 x Сума = 36 + A + B + C + D, отже Сума = 9 + (A + B + C + D) / 4. Найменше, яке може мати A + B + C + D, це 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Це число має бути ділимим, тому його найменше можливе значення дорівнює 12, що означає, що найменше можливе значення дорівнює Сума = 9 + 12/4 = 12.
Зверніть увагу, що будь-який розв'язок можна перетворити на інший, віднявши всі елементи від 9. Це перетворить стару суму на 27 – суму. Отже, єдиними можливими значеннями для суми є 12, 13, 14 та 15. Оскільки 12 та 15 пов'язані між собою, а 13 та 14 також пов'язані між собою, нам потрібно перевірити розв'язки лише для 12 та 13.
Ось розв'язки для суми зі значеннями 12 та 13. Виявляється, що це єдині розв'язки для цих двох сум.
Зверніть увагу, що числа в центрі кіл, які не дотикаються одне одного, у сумі дають одне й те саме. Наприклад, на крайній лівій діаграмі 8 + 4 = 5 + 7. Доведіть, що це завжди відбувається за допомогою трохи алгебри. Нехай K та L – це значення в центрах двох протилежних кіл, а M та N – два інших значення. Якщо ми додамо області для двох кіл для K та L, ми отримаємо 2 x Сума = K + L + (A + B + C + D). Аналогічно, додавання областей для двох кіл для M та N дає 2 x Сума = M + N + (A + B + C + D). Це змушує K + L = M + N.
Також зауважте, що оскільки 4 x Сума = 36 + A + B + C + D, ми отримуємо 2 x Сума = M + N + (4 x Сума – 36). Переписуючи це, ми маємо M + N = 36 – 2 x Сума. Для наших чотирьох значень Суми, від 12 до 15, значення M + N дорівнюють 12, 10, 8 та 6.
Оскільки 12 = 4 + 8 = 5 + 7 — єдині способи отримати 12, наведене вище рішення для Sum = 12 є єдиним рішенням. Хоча 10 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 говорить про те, що для Sum = 13 існує більше можливостей, швидка перевірка трьох можливих пар (2, 8), (3, 7) та (4, 6) показує, що наведене вище рішення є єдиним для Sum = 13.