2023 січня

Новини

Прогрес Будь ласка, ознайомтеся з деякими з наших нових матеріалів. Наша програма «Заходи для вчителів» тепер містить 70 головоломок тижня та 35 математичних ігор для класу. Наш перекладач з корейської мови був зайнятий і переклав перші три розділи ігор, головоломок, завдань та досліджень.

Пожертви EFM отримала дві пожертви безпосередньо перед кінцем року. Одну на 1000 доларів, а іншу на 250 доларів. Другу суму роботодавець подвоїть через кілька тижнів. Ми з нетерпінням чекаємо на можливість використати ці кошти для виготовлення гральних карт, книг для читання або інструментів для ілюстрації. Дякуємо всім за вашу підтримку!

Світ – це математичний майданчик!

Нещодавно я провела час зі своїми двома онуками, Зої (1) та Клер (3 з половиною роки). Я деякий час дивилася на світ їхніми очима. У Клер було так багато цікавих запитань, і кожна відповідь і спостереження призводили до ще більшої кількості запитань. Вона відкривала закономірності та хотіла дізнатися більше. Для маленької дитини світ – це математичний майданчик.

Ми в EFM хочемо, щоб світ відчував себе саме так для всіх дітей різного віку.

Останнім часом я із задоволенням удосконалював колекцію головоломок тижня від EFM, яка є частиною програми «Заходи для викладачів», яку ми розробляємо. До кожної головоломки ми додаємо розділ під назвою «Дослідження», а також розділ для вчителя «Нотатки», де обговорюється розв’язання та пов’язані з ним ідеї.

Деякі з цих головоломок природно призводять до нових питань і нових головоломок, які потрібно розв’язати. Коли математична головоломка створює такий математичний майданчик, я люблю називати їх «Розширеними математичними середовищами». Ден Фінкель називає їх «Розширеними завданнями» і має розділ веб-сайту «Математика для любові», присвячений їм.

Заохочення дитини дивитися за межі безпосередньої головоломки та обмірковувати пов'язані з нею питання – це чудово. Це залучає її до цікавих та глибших аспектів матеріалу, віддаляє її від пасивного споживання математики та дає їй право власності на те, про що вона думає, а також віддаляє математику від правильних і неправильних відповідей та переносить її у захопливий світ досліджень та відкриттів.

Є кілька чудових книг, які розглядають цей процес. Одна з них, яка мені зараз подобається, — це «Мистецтво постановки задач» Брауна та Волтера. Їхні задачі призначені для старшої вікової групи, але їхні стратегії виявлення постановки задач універсальні. Ще одна чудова книга — « Мислити математично» Мейсона та ін., яка досліджує велику колекцію цікавих задач. Третя книга — «Вимірювання» Пола Локхарта, яка є чудовою подорожжю відкриттів через геометрію, часто показуючи, що можна поставити та відкрити, просто представивши просту діаграму і нічого більше. До речі, якщо ви не читали його «Плач математика» , вам дійсно варто її пошукати.

Давайте пограємо на цьому дитячому майданчику!

Заповнення квадратів квадратами

На скільки квадратів можна розрізати великий квадрат? Просте питання з безліччю цікавих результатів!

Після деяких роздумів, перша відповідь – це квадратні числа: 1, 4, 9, 16 тощо. Це вже гарне усвідомлення для дитини, і це являє собою розуміння того, як розбити квадрат на частини рівного розміру.

Як ми можемо скоригувати це питання або зрозуміти його глибше? Що, якщо ми дозволимо квадратам різного розміру? Що станеться, якщо ми замінимо всі квадрати в цьому питанні якоюсь іншою формою? Що станеться, якщо ми змінимо розмірність задачі?

Якщо ми дозволимо квадрати різних розмірів, у нас з'явиться набагато більше варіантів. Коли варіантів забагато, корисно знайти способи працювати систематично, що є гарною звичкою, яку слід розвивати у дітей. Хоча неструктурована гра з цією проблемою – це чудова річ, і її слід заохочувати, зрештою, можливо, через кілька років, вашій дитині потрібно буде шукати структуру у відповідях.

Одне дуже корисне спостереження полягає в тому, що будь-який розв'язок може замінити один квадрат, щоб створити новий розв'язок. Саме це було зроблено в третьому прикладі – нижній правий квадрат був замінений чотирма квадратами. Кінцевим ефектом заміни одного квадрата на чотири є збільшення загальної кількості квадратів на 3. Додаючи три до всіх наших старих відповідей, можливо, неодноразово, ми отримуємо 1, 4, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19 тощо.

Є щонайменше ще одна систематична побудова, на яку варто звернути увагу, але я не буду псувати всю цікавинку.

Що відбувається, коли квадрати замінюються іншими фігурами? Для яких інших фігур це взагалі можливо зробити? Тут багато веселощів! Звичайно, ми можемо розкласти правильні трикутники на менші правильні трикутники. Дивно, але історія для правильних трикутників схожа на історію квадратів. Чи працюють інші фігури та призводять до цікавих результатів? Паралелограми… Шестикутники…? Чи було б цікаво мати більше одного виду фігур для цих частин?

Що станеться, якщо розбити кубик на менші кубики? ​​Звучить цікаво, але я ще не пробував.

Сонечка, які не складаються і не розмножуються

Припустимо, що на листок сідають пронумеровані сонечка. Єдина вимога полягає в тому, що на листку не може бути двох сонечок, кількість яких у сумі дорівнює третій на тому ж листку. Листок ліворуч — це нормально, а праворуч — ні, тому що 2 + 4 = 6. Використовуючи два листки, як високо можна піднятися, починаючи з 1?

Трохи погравшись, я зрозумів, що {1, 2, 4, 8} та {3, 5, 6, 7} – це найкращі варіанти. Це було весело, і було багато корисної практики з додаванням та зв'язками між числами.

Як ми можемо трохи погратися з цією ситуацією? Один зі способів — змінити типи чисел, з якими ми працюємо: замість використання послідовних чисел, що починаються з 1, ми можемо використовувати парні, непарні, прості числа або навіть числа Фібоначчі. Інший напрямок, у якому ми можемо змінити, — це кількість листків. Що станеться, якщо листків буде 3, 4 або більше? Що станеться, якщо ми змінимо правила комбінації? Що станеться, якщо ми вимагатимемо, щоб жодні два числа не могли множитися, щоб дати третє на листку? Проста задача розквітла у стільки можливостей!

Давайте розглянемо деякі з них.

Використання парних чисел виявляється невеликою зміною. Якщо ми помножимо всі числа в нашій першій відповіді на 2, ми отримаємо найкращу відповідь для парних чисел. Не кожна зміна призведе до цікавого результату, хоча спостереження за корисністю масштабування на 2 — це гарний досвід для дитини. З непарними числами відбувається щось дуже дивовижне — усі числа можна розмістити на одному аркуші! Я залишу вам прості числа та числа Фібоначчі, щоб ви могли з ними погратися.

Якщо листків більше двох, це стає складно зробити швидко. Це настільки складно, що залишається невирішеною проблемою, який найкращий результат отримати для шести листків.

Тим не менш, є деякі речі, з якими ми можемо поекспериментувати та отримати цікаві результати. Зверніть увагу, що існує принаймні два типи груп, які завжди можна розмістити на одному аркуші. Один – це степені числа 2, такі як {1, 2, 4, 8, 16}. Інший полягає в тому, що ми можемо розмістити всі послідовні числа, починаючи з числа і до його подвоєного числа, на одному аркуші, наприклад, {3, 4, 5, 6}. Ці дві ідеї виявляються кориснішими, ніж ви думаєте.

Щоб отримати дуже точну відповідь для трьох листків, почніть з відповіді для двох листків {1, 2, 4, 8} та {3, 5, 6, 7}, а на третьому листку використовуйте {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}. Потім ви можете почати з 19 і розкидати ці числа, де зможете. Після деяких експериментів ви отримаєте відповідь {1, 2, 4, 8, 22}, {3, 5, 6, 7, 19, 20, 21} та {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}. Це лише одна відповідь від найкращої відповіді 23, і ви можете отримати цю відповідь, зробивши дві невеликі зміни в цій попередній відповіді!

Ця загальна тема називається множинами без сум та розбиттями без сум. Якщо ви переглянете ці результати, то побачите, що відповіді в літературі при додаванні ще одного листка подібні до того, що відбувається при переході від двох листків до трьох. Це призводить до гіпотези: чи завжди найкраща відповідь для ще одного листка містить попередню відповідь всередині нього?

Припустимо, ми змінимо задачу з додавання на множення? Тепер нам потрібно, щоб два числа на аркуші не могли множитися між собою, щоб дати третє число на цьому аркуші. Відбувається щось дуже цікаве з простими числами та розкладанням простих чисел на множники. Один аркуш може містити всі числа, які дорівнюють 1, просте число або квадрат простого числа. Інший аркуш може містити решту чисел до точки, де воно не відповідає дійсності. Це виглядає так: {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, …, 47} та {6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, … 46}. Я підозрюю, що це найкраща відповідь для двох аркушів. Що відбувається для трьох або більше аркушів? Які ще питання ви можете придумати?

Ваги на пательні

Вам потрібно зважити будь-яку можливу вагу від 1 унції до 30 унцій на тарілочних вагах. Який найменший набір гир підійде?

Для дитини, яка бачить це вперше, відповідь неочевидна. Тож запропонуйте дитині запропонувати меншу задачу для роботи. Можливо, замініть 30 на 5, потім на 6, 7, 8, 9 та 10. З кількома прикладами відповідь стане зрозумілою.

Щоб знайти більше інформації для дослідження, перевірте припущення. Чи припускала ваша дитина, що всі вантажі будуть з одного боку пристрою? Якщо так, то з'являється абсолютно нова головоломка, яка відкривається, якщо дозволити вантажам бути з обох боків.

Що станеться, якщо ми почнемо з обмеженої кількості типів гир і запитаємо, які речі можна зважити? Припустимо, що у нас є необмежена кількість гир вагою 4 унції та 7 унцій. Які речі можна зважити, а які ні? Що станеться, якщо ми замінимо 4 та 7 іншими парами чисел? Для яких пар чисел існує необмежена кількість речей, які не можна зважити? Для пар, де цього не відбувається, чи можете ви знайти формулу для визначення межі? Чи можете ви виявити інші властивості набору речей, які не можна зважити?

Знову ж таки, ви отримуєте зовсім нову проблему, якщо дозволите вашим вантажам вагою 4 унції та 7 унцій знаходитися з обох боків пристрою. Ви можете поставити всі ці запитання знову, і на них є цікаві відповіді!

Проблема з вимикачем світла

У вас довгий коридор зі 100 кімнат. Усі кімнати темні. У вас є 100 божевільних роботів. Перший робот іде коридором і вмикає кожен вимикач світла. Другий робот вмикає кожен другий вимикач світла. Третій робот вмикає кожен третій вимикач і так далі. Після того, як усі роботи будуть виконані, які кімнати будуть освітлені, а які темні? Існує багато еквівалентних форм для цього питання, наприклад, використання замкнених шафок у роздягальні.

Це одне з моїх улюблених середовищ з насиченою математикою, оскільки воно може призвести до багатьох цікавих питань з теорії чисел, а також є гарним тренувальним майданчиком для методів розв'язання задач. Воно дещо складне для EFM, тому я лише коротко торкнуся його.

Початкове питання можна вирішити досить просто, якщо проявити трохи терпіння. Освітлені кімнати – це ті, що пронумеровані 1, 4, 9, 16, …, 100, які в точності відповідають квадратам. Якщо ви на цьому зупинитеся, то відповісте на питання, але пропустите багато цікавої математики.

Чому квадрати світяться і що насправді відбувається? Виявляється, вимикач світла в кімнаті перемикається для кожного дільника номера кімнати! Отже, кімната буде освітлена, якщо в ній непарна кількість дільників. З нашого результату ми припускаємо, що число має непарну кількість дільників саме тоді, коли воно є квадратом. Ого! Чому так?

Тепер ми підходимо до дослідження того, як рахувати дільники. Які числа мають кожне з дільників 1, 2, 3, 4 та 5, і чи є вони цікавими (вони є)? Що цікавого в кожній групі? Чи існує систематичний спосіб підрахунку дільників для будь-якого числа? Чи існують певні підрахунки дільників, які змушують число мати певну форму?

Рахувати дільники було весело. Що станеться, якщо ми додамо дільники числа? Що станеться, якщо ми помножимо дільники числа? Які ще цікаві питання ви можете придумати для цієї задачі?

Що, якби ми розв'язали початкову задачу з божевільними роботами, які перемикають лише непарні перемикачі? Що, якби це були лише парні перемикачі? Кратні 3… прості числа… числа від 1 до 10… Не кожен варіант матиме цікаву відповідь, але вам буде цікаво дізнатися!

Який чудовий світ математики!