弹跳的台球
的挑战
一个台球从一张 3×4 英尺的台球桌左下角以 45 度角击出，球在击中球桌右下角之前会弹跳 5 次。如果从一张 4×7 英尺的台球桌左下角击出，球在击中球桌角之前会弹跳多少次？
勘探
对于其他尺寸的桌子，你能预测球会先击中哪个角，以及球会反弹多少次吗？你能运用一些几何知识来简化这个问题吗？
笔记
+
-
挑战与探索
我们可以用一张方格纸来尝试，看看会发生什么，从中获得无穷乐趣。当然，也可以用更系统、更严谨的方法来进行研究。
首先需要注意的是，桌子的尺寸不如它的形状重要。任何形状相似的矩形（边长比相同）都会产生相同的结果。因此，3×4 的桌子与 6×8 的桌子和 9×12 的桌子效果相同。
此时一个有用的练习是收集 1 行 n 列和 2 行 n 列的表格的结果。
- 1 到 n：球将弹跳 n – 1 次，当 n 为偶数时，球将落在右下角；当 n 为奇数时，球将落在右上角。
- 2×n：如果 n = 2k，那么 2×2k 的球桌与 1×k 的球桌类似（因为它们性质相似）。在 2×(2k+1) 的球桌上，球会弹跳 n 次，最终落在左上角。
经过更多试验，得出了一个总体结果！
成果
如果 k 和 n 没有公因数，那么 ak×n 的球桌将有 k + n – 2 次弹跳。如果 k 为偶数，球将落在左上角。如果 k 为奇数，当 n 为奇数时，球将落在右上角；当 n 为偶数时，球将落在右下角。如果 k 和 n 有公因数，则约去这些公因数，并将结果应用于约分后的数。
一个更容易观察球弹跳轨迹的巧妙方法是“展开”弹跳轨迹。如图所示，摆放一些桌子，形成一个网格，然后让球沿直线穿过所有桌面！
