本周谜题

的挑战

学生们正在尝试计算所有能通过将任意 4 的倍数与任意 7 的倍数相加而得到的数字。他们并没有被告知这一点，而是在研究所谓的贝祖定理。该定理指出，两个数的倍数（包括正数和负数）的所有可能组合，等于这两个数的最大公约数（或公因数）的倍数的集合。4 和 7 的最大公约数是 1，因此我们应该能够得到所有可能的组合。此外，每个组合都有无穷多种方法。

以下是一些数字 1 到 12 的示例：

• 1 = 4 + 4 – 7 = 9 × 4 – 5 × 7 = 16 × 4 – 9 × 7
• 2 = 7 + 7 – 4 – 4 – 4 = 6 × 7 – 10 × 4 = 10 × 7 – 17 × 4
• 3 = 7 – 4 = 5 × 7 – 8 × 4 = 9 × 7 – 15 × 4
• 4 = 4 = 4 × 7 – 6 × 4 = 8 × 7 – 13 × 4
• 5 = 3 × 4 – 7
• 6 = 2 × 7 – 2 × 4
• 7 = 7
• 8 = 2x4
• 9 = 3 × 7 – 3 × 4
• 10 = 2 × 7 – 4
• 11 = 4 + 7
• 12 = 3x4

一旦求出最大公因数的组合，就可以用它来求出最大公因数的任意倍数。例如，4 和 7 的倍数为 1 的方法是 2 × 4 - 7。我们可以通过将 23 写成 23 = 23 (2 × 4 - 7) = 46 × 4 - 23 × 7 来求出任何其他数字，例如 23。一旦我们找到了一个数字的解，就可以通过在其上加 0 来得到所有其他解（我知道这听起来很奇怪）。例如，我们有 1 = 2 × 4 - 7 = (2 × 4 - 7) + (7 × 4 - 4 × 7) = 9 × 4 - 5 × 7。我们可以加上 (7 × 4 - 4 × 7) 的任意倍数，而不会改变结果的值。

勘探

如上所述，此过程将生成这两个数的最大公约数的所有倍数。如果最大公约数为 1，则会生成所有倍数。

以 4 和 6 为例。它们的最大公因数是 2。4 和 6 的倍数之和总是偶数，因此不可能得到所有数字。如果你把 4 和 6 看作是 2 乘以 2 再乘以 3，这一点就更容易理解了。你知道 2 和 3 的倍数之和等于所有数字，因为它们互质。然而，4 和 6 会将这些和乘以 2，所以它们会得到所有 2 的倍数！