本周谜题

的挑战

当你仔细审视这个问题时，你会意识到，随着数字的增加，总和的增长速度远不及乘积的增长速度，因此你需要找到一些方法来应对这种情况。一个简单的办法是将总和转化为乘积，如下所示。

假设数字 A、B、C、D 和 E 按降序排列，其中 A 最大（可能与其他数字并列）。那么 A + B + C + D + E ≤ 5A。因此，A × B × C × D × E = A + B + C + D + E ≤ 5A。所以，B × C × D × E ≤ 5。由于这些都是整数，我们需要考虑的可能性非常少！

这些将按 B、C、D、E 的顺序排列。

• 5, 1, 1, 1: 那么 A x 5 x 1 x 1 x 1 = A + 5 + 1 + 1 + 1，所以 5A = A + 8。这意味着 A 是 2，这不可能，因为 A 应该是最大值。
• 4, 1, 1, 1: 那么 A x 4 x 1 x 1 x 1 = A + 4 + 1 + 1 + 1，所以 4A = A + 7。这意味着 3A = 7，这是不可能的。
• 3, 1, 1, 1：则 A × 3 × 1 × 1 × 1 = A + 3 + 1 + 1 + 1，所以 3A = A + 6。这意味着 2A = 6，所以 A = 3。由此得出解为 3 × 3 × 1 × 1 × 1 = 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 9。
• 2, 1, 1, 1: 那么 A × 2 × 1 × 1 × 1 = A + 2 + 1 + 1 + 1，所以 2A = A + 5。这意味着 A = 5。由此得出解为 5 × 2 × 1 × 1 × 1 = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10。
• 1, 1, 1, 1: 那么 A x 1 x 1 x 1 x 1 = A + 1 + 1 + 1 + 1，所以 A = A + 4，这是不可能的。
  ● 2, 2, 1, 1: 那么 A × 2 × 2 × 1 × 1 = A + 2 + 2 + 1 + 1，所以 4A = A + 6。这意味着 A = 2。由此得出解为 2 × 2 × 2 × 1 × 1 = 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 8。

因此，共有三种解：3, 3, 1, 1, 1；5, 2, 1, 1, 1；以及 2, 2, 2, 1, 1。其中出现的最大数字是 5。

勘探

对于任意数量的数字，都可以进行非常类似的分析。数字越大，需要分析的内容就越多。

对于 2、3 和 4 这三个数字，我们得到：

• 2 × 2 = 2 + 2
• 3 × 2 × 1 = 3 + 2 + 1
• 4 × 2 × 1 × 1 = 4 + 2 + 1 + 1

除了这些具体答案之外，经过一些例子的检验，可以“清楚地”看出，当有 n 个数时，最大的数总是与解 nx 2 x 1 x 1 x … x 1 = n + 2 + 1 + 1 + … + 1 相关联。