2025 年 12 月

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早期學校數學應用程式—我們的免費ESM應用程式已大幅改進。我們修復了一些錯誤，提升了效能，並添加了大量新內容（每週都會更新）。 ESM現在包含個位數乘除法、兩位數加減法、簡單分數、測量和數據等方面的學習內容，此外還有150個謎題、80個課堂遊戲、25個詳盡的豐富練習以及許多簡短的教學活動。您可以透過此連結在任何瀏覽器中體驗：early-school-math.web.app。我們非常希望收到您的回饋，以了解我們做得好的地方以及您有哪些改進建議—請與我聯絡。請幫助我們為世界各地的數學教師提供協助。

歡樂與美麗

節日是為了慶祝歡樂、美麗和深思熟慮。遺憾的是，大多數人不會將歡樂和美麗與數學聯繫起來。我會先講述三個警世故事，然後闡述如何讓數學的歡樂和美麗更加凸顯。

故事一：X國

因為這個問題非常普遍，而且我也不想因為一個幾乎是全球性的問題而單獨指責某個國家，所以我不會在這個小故事中點名提到這個國家。

最近，我和一位在X國一個特別貧困的地區負責數百所學校的教育工作者談到了使用早期學校數學（ESM）應用程式的情況。這位教育工作者告訴我，他們學校的大多數學生都害怕數學，對數學感到焦慮，並且覺得自己學不好數學。這些學生的數學程度很低，而且他們的老師數學教學能力也不強。

每當我想起成千上萬的孩子在那些學校裡學習，卻無法獲得學習真正的數學所能帶來的終身益處（包括實際益處和個人益處），也無法體會到數學的樂趣和美好時，我的心就感到無比痛心。

故事二：顧問Y

我認識的一位老師是早期數學教師的專業發展顧問。在與一群老師開完會後，他又分別與其中幾位進行了單獨面談。我記得那天的會議主題是教授數量和分數。他告訴我，大多數與他交談過的老師都坦言，他們對現有的教材不夠自信，無法運用他提出的那些更生動有趣、更能激發學生思考的教學理念（借用彼得·利耶達爾的術語）。他說，老師們的計畫是採取更穩健、更簡單的方法，按部就班地按照枯燥乏味的教材進行教學。

教學是一項耗時耗力且要求極高的工作。要求這些教師以他們學生時代從未接觸過、也從未在其他課堂上見過的方式來教授數學，這無疑是一項艱鉅的任務。

故事3：學生澤德

我最近很少做數學家教了。不過，當一位朋友說他的孩子澤德的國中數學不及格時，我實在無法拒絕。除了澤德許多數學基礎薄弱之外，最讓我震驚的是，澤德對數學完全提不起興趣。對他來說，數學是一門枯燥乏味、毫無樂趣的學科。

展現數學的樂趣與美

如果他們採納並測試ESM，X國的學生將會看到改變，但這並非一朝一夕就能實現。此外，我與Y顧問的老師們距離太遠，短期內恐怕幫不上什麼忙。但是……我今天可以改變Zed的生活（這是每位老師的樂觀精神）。

我意識到，改變澤德對數學的態度與彌補他的數學弱點同樣重要。我不能期待他主動學習他認為枯燥乏味的科目。所以我決定用一半的課時間玩數學遊戲和謎題，讓他真正體會數學的魅力，並在遊戲中練習一些數學能力。

尼姆

在第一堂課的「休息」時間，我們玩了尼姆遊戲。遊戲規則是：將目標數字設定為10（或任何你想要的數字）。在減法版本中，玩家輪流從目前總數（初始值為目標數字）中減去1或2。輪到自己時總數為0的玩家獲勝。這個遊戲簡單易學，玩法也很快。

玩了兩輪遊戲後，我才看到他自從我們坐在一起以來第一次露出笑容。

我喜歡尼姆遊戲的一點是，它是一款非常棒的教學遊戲，能幫助孩子透過學習簡單的例子來掌握解決問題的策略。在我們學習如何透過簡單的例子（以1到10為目標）來成為尼姆大師之後，他很想玩更多遊戲。

順便說一句，從簡單的例子開始學習是我所知的最有效的解決問題的策略之一。在尼姆（Nim）遊戲中引入這種策略後，我就可以反覆運用它來幫助他解決謎題，並學習一些基本的數學技能。

產品遊戲

在重新投入數學技能學習後，我們利用下一個休息時間玩的遊戲是乘積遊戲。

遊戲玩法是在底行1到9的數字上移動兩個棋子。遊戲開始時，第一位玩家在該行的任何位置放置一個棋子。然後第二位玩家在該行的任意位置放置第二個棋子，並佔領兩個棋子相乘所對應的方格。之後，玩家輪流移動其中一個棋子，並將自己的一個棋子放在相乘的方格上。最早在一行、一列或一條對角線上連成三個棋子的玩家獲勝。

我喜歡這款遊戲，因為它沒有簡單的策略。玩家需要專注於分解數字來決定是阻擋還是進攻，而這個分解過程鼓勵玩家思考參與行動的數字之間的公因數。遊戲中充滿了乘法和分解，玩家在進攻和防守之間交替，樂趣無窮。

搖搖欲墜的塔樓紙牌遊戲

第二天我們玩了「搖搖欲墜的塔」。我想讓他練習對分數大小的感知。這其實是一款單人遊戲，不過也可以進行競技對戰。

玩家開始時擁有一個由三個空位組成的塔。擲兩顆骰子，用這兩個數字組成一個分數，其中一個數字當分子，另一個數字當分母。這個分數可以放在任意一個空位中，不能移動。如果三個空位都以從小到大的順序填滿了分數，玩家就可以重新開始遊戲，並獲得一個額外的空位。如果玩家未能按順序填滿所有空位，則塔會倒塌，玩家需要重新開始，但空位會減少一個。遊戲的目標是盡可能地搭建一個更高的塔。

在這個遊戲中，事情最終總會出錯，而這種必然性消除了失敗感。它提供了大量趣味十足的分數排序練習。它也可以用來練習兩位數的排序。

EFM拼圖撲克牌

第一堂課結束時，我們從二至五年級的EFM拼圖遊戲牌組中抽取了一張。在接下來的幾堂課中，我們繼續抽取拼圖遊戲牌。以下是我們玩過的一些遊戲牌：

梅花 8 和方塊 3 純粹是為了好玩。

黑桃7讓我們有機會討論是什麼因素導致分數變大或變小。紅桃J則培養了我們對因式分解的數感。

方塊 K 和黑桃 5 為討論解決問題以及運用從更簡單的例子中尋找規律的策略提供了機會。

為了解開柯尼斯堡橋謎題（黑桃5），我們研究了大量圖表，尋找其中的規律。到最後，他迫切地想要弄清楚為什麼柯尼斯堡橋謎題不可能解開——他充滿了好奇心和興趣。

這位從小就討厭數學的學生現在終於意識到數學是多麼美妙的學科啊！

遊戲與難題

一個月過去了，Zed每次來都會問我們能不能再選一張拼圖卡片，再玩一些數學遊戲。他仍然有很多數學弱點，我們一半的時間都在幫他克服，但他對提高這些技能的興趣和熱情比我們第一天來我家時那個初中生強多了。有一次，我和Zed一起上了90分鐘的課，Zed的家長說，在此之前，Zed從來沒有能坐下來認真做數學題一小時。

我真希望與我的這次會面不是澤德人生中第一次體會到數學的樂趣。我真希望澤德的老師們一直以來都能這樣引導他和他的同學。

我的希望

我希望「早期家庭數學」（Early Family Math，簡稱ESM）和其他機構為家庭和教育工作者所做的一切，能夠對這些年輕人的生活產生巨大的影響。我希望這些理念能在Y顧問合作的教師群中找到滋養，並促使他們勇於嘗試以全新的方式教授數學。我希望X國能夠採納ESM，將全新的數學教學方法引入他們的學校——這種新的數學方法能夠激發學生的自信心和對數學的熱愛，並幫助他們發現數學的樂趣和魅力。

亞歷克斯盒子

說到那些帶來快樂和美好的人，Alex 是我的朋友，也是我在 EFM 的同事，她兩個月前去世了。我想藉此機會緬懷她。

她的網站「數學遊戲」（Maths Play）致力於讓數學變得有趣且引人入勝。透過她的網站、與學生的互動以及與其他教師的合作，Alex始終秉持著一個核心目標：分享數學所蘊含的一切奇妙、樂趣和美感。

我們進行了多次愉快的Zoom通話，分享數學的美好之處，並探討如何讓數學變得更有趣。對我來說，最難忘的時刻之一是我和Alex共同撰寫了2023年12月刊的這份簡報。那期簡報是我最喜歡的之一。我們在文中介紹了我們最喜歡的三本與數學和數學教育相關的書籍。

我非常懷念艾利克斯，也十分想念她。她是一位善良體貼的人，為許多人的生活帶來了數學的樂趣和快樂。

結束語

我希望您和您的家人朋友在假期中度過一段美好的時光。我希望你們能一起玩數學遊戲、解數學謎題，並在數學的樂趣中發現它的美。如果您也想與EFM合作，幫助更多家庭和教室體驗數學的樂趣，請與我聯繫，讓我們一起探索更多精彩的活動。