2026 年 4 月

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EFM五週年！

自從「早期家庭數學」網站和電子報上線以來，已經走過了精彩的五年。我們擁有一個強大的支援團隊（歡迎加入我們！），並創建了網站、兩款行動應用程式以及涵蓋十幾種語言的大量學習資料。在此，我們衷心感謝所有支持者、同事和捐贈者！沒有你們，我們無法有今天的成就！

新網站上線囉！我們很高興地宣布，大約一週後，www.EarlyFamilyMath.org將跳到全新改版的 EFM 網站。新網站擁有許多新功能，以下列舉部分：

* 支援透過機器翻譯翻譯 104 種世界語言

除了我們傳統的十幾種語言的人工翻譯 PDF 文件外，我們現在還提供直接在我們的網站上使用這些材料（例如我們的謎題或遊戲）的功能，支援 104 種機器翻譯語言。

* 新增角色和插圖

早期學校數學應用程式– 早期學校數學 (ESM) 行動應用程式現已與早期家庭數學 (EFM) 行動應用程式一起在兩個應用程式商店上架。

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數學與政治代表

鑑於如今圍繞投票的種種爭議，現在正是談論投票的數學方面以及如何與孩子們一起玩這些數學遊戲的好時機。

只能使用整數可能會導致一些棘手的問題。如果食譜要求使用 3 個雞蛋，而你只想做一半的量，剩下的食材又該如何處理？

政治代表權問題尤其棘手。假設人口統計顯示，你的州應該在眾議院擁有14又2/3的席次。如果真的按照這個比例計算，對某些人來說會非常不方便。雖然不能出現一位擁有14又2/3票的代表，但這顯然是不可能的。

本期簡報探討了政治代表的三個面向，而這些方面的解決方案往往出乎意料地棘手且有趣。

劃分選區－選區劃分不公

雖然選區劃分不公是一個由來已久的話題，但至少在過去一年裡，它頻頻出現在新聞報導中。選區劃分不公指的是人為地劃分選區，以使某個政黨或事業在選舉中獲得不公平的優勢。而最大的問題在於：究竟什麼才算是「不公平的優勢」？

一個投票管轄區（例如一個州）確定了其代表人數後，需要將其地理區域劃分為相應數量的區域。這其中涉及諸多因素，而且沒有明確的方法來同時兼顧所有不同的考量。這個問題如此複雜，我甚至不想在此展開討論。

相反，我們將探討如何人為操縱，使選舉結果不公。我的朋友們在茱莉亞·羅賓遜數學節（JRMF）（https://jrmf.org/）為孩子們設計了一些關於選區劃分不公平的謎題（https://jrmf.org/puzzle/gerrymandering/）。這些謎題簡單易懂，趣味十足，並且用淺顯易懂的方式展示瞭如何透過操縱選區劃分來幫助某一方。

假設上圖所示的網格代表一個選區選民的地理分佈，該選區需要被分成五個相等的部分，每個部分包含五個小方格（每個小方格代表一位選民）。此外，假設藍色方格代表傾向某種投票方式的選民，紅色方格代表傾向相反投票方式的選民。

* 有哪些方法可以拆分以幫助其中一方或另一方？

* 使用不同的選區劃分方案，找出紅色陣營能夠控制的最大和最小選區數量。為什麼紅色陣營必須至少控制部分選區？

在所有這些 JRMF 選區劃分謎題中，都有兩條規則。

* 各區面積必須相等（擁有相同數量的小正方形）。

* 每個區域都是連通的－必須能夠透過沿著區域內一系列的方格行進，從而在區域內的任意兩個方格之間移動，這些方格每兩個都共用一條邊。

利用不同的選區大小、形狀和顏色總數，互相挑戰，創造能夠產生意想不到結果的選區。 JRMF 提供了許多精彩的例子。

如果你想挑戰一下，可以創造一個需要同時平衡兩件事的司法管轄區。現在想像一下，如果你需要平衡十幾件事，無論「公平」的定義是什麼，那會是什麼樣子。

這不僅可以讓你的孩子了解選區劃分是如何運作的，也是練習乘法、除法以及將一個整體分成相等部分的絕佳機會。

眾議院

你或許會覺得，給美國眾議院的每個州分配代表人數很簡單。一旦你（在某種程度上是隨意地）決定了眾議院的總代表人數（自1929年以來一直設定為435人），然後計算每個州的人口占總人口的比例，並按比例分配代表名額。這能出什麼問題呢？

假設有100位代表，四個州（A、B、C、D），這四個州應得的席次比例分別為1/5、1/4、3/10和1/4。在這種情況下，A州將獲得20席，B州將獲得25席，C州將獲得30席，D州將獲得25席。這很簡單。

唉，要是真有那麼簡單就好了。我們又回到了只能用整數答案的問題上。你或許會驚訝地發現，這個問題其實相當棘手，自從傑佛遜創建的第一個評分系統（1790年至1830年使用）以來，已經出現了四種不同的評分方法。

繼續以A、B、C、D四個州各有100名代表為例。這次假設它們應該分別獲得1/3、1/6、2/7和3/14的代表席位。如果我們可以使用分數代表，那麼它們將分別獲得33又1/3、16又2/3、28又4/7和21又3/7名代表。第一步是給這四個州分配它們各自的整數代表席位：A州33名，B州16名，C州28名，D州21名。人們爭論了150年的一個關鍵問題是：剩下的2名代表該如何分配？

在繼續閱讀之前，請先和您的孩子討論您會如何解決這個問題。

漢密爾頓方法（大多數人採用的方法）規定，剩餘的眾議院席位應分配給各州席位佔比最大的州。按照漢密爾頓方法，B州的席位將從16個增加到17個，C州的席位將從28個增加到29個。漢密爾頓方法在1850年至1890年間被廣泛使用。後來，當眾議院席位總數增加時，人們發現了“阿拉巴馬悖論”，此後不久，漢密爾頓方法就被棄用了。

以下這些例子（摘自菲利普斯埃克塞特學院的習題集）展示了漢密爾頓方法可能出現的問題，這是一個相當簡單的例子。假設有三個州：A、B 和 C。對於每種情況，請使用漢密爾頓方法計算每個州應獲得的代表人數。計算完成後，比較結果，找出異常或不公平的情況。

方案 1：共有 100 位代表。 A 組人口 453 人；B 組人口 442 人；C 組人口 105 人－總計 1000 人。

方案 2：共有 101 位代表。 A 組人口 453 人；B 組人口 442 人；C 組人口 105 人－總計 1000 人。

方案 3：共有 100 位代表。 A 組人口 647 人；B 組人口 247 人；C 組人口 106 人－總計 1000 人。

方案 4：共有 100 位代表。 A 組人口 650 人；B 組人口 255 人；C 組人口 105 人－總計 1010 人。

傑佛遜、亞當斯和韋伯斯特也曾設計過其他早期的眾議院席次分配方案。傑佛遜的方案最初於1790年投入使用。不過，對於這篇簡報來說，這似乎有點離題了，所以我就不贅述了，留給那些更有興趣的讀者自行去了解這些以及其他曾經使用過的方案吧。

丟番圖方程

古希臘人最初認為所有數字都可以用整數分數表示。這自然地導致他們只對數學問題的整數答案感興趣。乍一看，你可能會覺得這種限制性的觀點會讓他們研究的數學枯燥乏味。然而，正如我們所見，這種限制反而帶來了許多有趣的挑戰。古希臘的丟番圖因研究這類問題而聞名，以至於數學中有一個分支以他的名字命名。

丟番圖方程式的一些經典例子包括探索諸如 ax + by = c 和 a^2 + b^2 = c^2 之類的方程式的整數解，以及研究何時可以將一個整數寫成兩個平方數的和。

投票系統

如果有99人投票，候選人A和B，投票過程很簡單－得票50票或以上的候選人獲勝。但如果投票人數為偶數且出現平局，情況就變得複雜了。即使只有99人，如果50人勉強更喜歡A，49人認為選擇A簡直糟糕透頂，那麼從哲學角度來看，這仍然是個問題。 A應該獲勝嗎？或者，與其投票給A或B，不如允許選民對每位候選人賦予一個分數偏好？

如果有三位或更多候選人，情況就會變得複雜得多。有很多方法可以處理這種情況，和孩子們一起探索這些方法會很有趣。探討選舉結果不如你所願的情況。假設有20個人投票給A、B、C和D這四位候選人。

方案一：如果沒有候選人獲得過半數選票，得票最多的兩位候選人將進行第二輪投票。假設A和B各得6票，C和D各得4票。如果所有投給D的人原本都會在D沒有參選的情況下投票給C，那麼就會出現一些不利後果。這種做法可能導致需要支付昂貴的第二輪投票費用，而通常情況下，第二輪投票的選民人數會少得多。

*選項二：得票最多的候選人獲勝。假設A獲得6票，B和C各獲得5票，D獲得4票。 A真的那麼受歡迎嗎？ 2024年，一位國會候選人在亞利桑那州的初選中以略低於四分之一的得票率獲勝。

*方案三：排序複選制（又稱即時復選制）。阿拉斯加州、緬因州以及其他一些地區採用這種制度。在該制度下，每位選民依偏好順序對所有候選人進行排序。如果一位候選人獲得多數第一選擇票，則該候選人獲勝。否則，得票最少的候選人將被淘汰（如同從未參選），所有將該候選人作為第一選擇的選民將被視為投給了他們的第二選擇。此過程將持續進行，直至選出最終人選。該制度的主要缺點是，由於需要對所有候選人進行排序，選民理解起來較為複雜，難以做出深思熟慮的選擇。

前兩種方案存在一個風險，即第三方候選人可能不會參選，因為他們可能會對兩位主要候選人之一造成乾擾。在2000年總統大選中，人們普遍認為拉爾夫·納德作為第三方候選人參選改變了選舉結果——當然，探討各種可能性並分析「如果…會怎樣」的情況並非易事。

總結

希望您和孩子能一起愉快地探討這些與投票相關的話題。我知道這些例子涵蓋了不同的數學技能——我希望您的孩子能樂於探索那些適合他們的方法。

讓我們共同期待未來五年繼續改善早期數學教育！對我來說，這是一段非常充實的旅程！