本週謎題

挑戰與探索

這比「壞掉的計算器 - 1」裡的情況要複雜得多。這裡涉及的數學定理被親切地稱為「麥樂雞定理」。假設你有兩個互質的數 n 和 m——也就是說，它們的最大公約數（約數）是 1。這個定理指出，從 1 到 (n - 1) × (m - 1) 的所有數中，恰好有一半可以表示為 n 和 m 的正倍數總和；而從 (n - 1) × (m - 1) 開始，你可以得到之後的所有數。

將此定理應用於 4 和 7，我們知道可以得到 18 以內所有數字的一半（4 – 1) × (7 – 1) = 18），並且從 18 開始，我們可以得到所有數字。讓我們看看這在這個特殊情況下是如何運作的。

• 1 = 不可能
• 2 = 不可能
• 3 = 不可能
• 4 = 4
• 5 = 不可能
• 6 = 不可能
• 7 = 7
• 8 = 4 + 4
• 9 = 不可能
• 10 = 不可能
• 11 = 4 + 7
• 12 = 4 + 4 + 4
• 13 = 不可能
• 14 = 7 + 7
• 15 = 4 + 4 + 7
• 16 = 4 + 4 + 4 + 4
• 17 = 不可能
• 18 = 4 + 7 + 7

即使不懂任何高深的數論，這位勇敢的探索者也可能注意到，1到18這十個數字中，一半是可能的，另一半是不可能的。他們也可能注意到一個規律：x 為可能的條件是 17 - x 為可能的條件。

另一個需要注意的規律是，這兩個數的任何公倍數都能整除它們所有倍數總和。這意味著，如果這兩個數的公倍數大於 1，那麼計算器將無法計算出無限多個數。例如，4 和 6 的組合永遠不會產生奇數。