本週謎題

的挑戰

需要注意的是，對於任意 n，可能的解的數量是有限的。如果 1/N = 1/A – 1/B，那麼 1/A – 1/N = 1/B > 0。1/A – 1/N > 0 表示 N > A。因此，1 < A < N，這意味著最多有 N – 2 個解，可以透過檢查該範圍內所有 A 的值來找到它們，雖然過程比較繁瑣。

對於分母為偶數的情況，例如 2d，總有 1/2d = 1/d – 1/2d。

另一種求差的方法是從一個加法公式開始。最簡單的公式是 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)]。這可以簡化為 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1)]。更一般的公式是 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)]，可以簡化為 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)]，其中 ab > 1。

因此，只要分母可以分解為 a(a+b) 的形式，其中 a 和 b 為正數且 ab > 1，我們就得到一個差分。特別地，因為每個大於 2 的數 n 都可以寫成 n = 1 × (1 + (n-1)) 的形式，所以每個埃及分數至少可以用一種差分形式表示。以下是一些例子：

• ⁷³：a = 1，b = 2，結果為 ½ – ⁶⁷
• ¼：a = 1，b = 3，得 ⅓ – 1/12
• ⅕：a = 1，b = 4，得 ¼ – 1/20
• ⅙：a = 1，b = 5，結果為 ⅕ – 1/30；a = 2，b = 1，結果為 ½ – ⅓
• 1/7：a = 1，b = 6，得 ⅙ – 1/42
• ⅛：a = 1，b = 7，結果為 1/7 – 1/56；a = 2，b = 2，結果為 ¼ – 1/8

這並非全部。例如，我們漏掉了 ⅙ = ¼ – 1/12。

深入一些代數運算，對於 a > 1 和 b > a > 1，考慮等式 1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab。消去分母得到 ab = n(ba)，解得 n = ab/(ba)。只要找到滿足上述等式的 a 和 b 值，我們就能計算出出差值。

讓我們從這個角度來看幾個例子的完整解決方案，看看能否發現一些規律。

• 3 = 2 × 6 / (6 – 2)
• 4 = 2 × 4 / (4 - 2) = 3 × 12 / (12 - 3)
• 5 = 4 × 20 / (20 – 4)
• 6 = 2 × 3 / (3 – 2) = 3 × 6 / (6 – 3) = 4 × 12 / (12 – 4) = 5 × 30 / (30 – 5)
• 7 = 6 × 42 / (42 – 6)
• 8 = 4 × 8 / (8 – 4) = 6 × 24 / (24 – 6) = 7 × 56 / (56 – 7)

從這些例子來看，當 n 為質數時，方程組似乎只有一個解。我們來看看為什麼。如果 n 是質數且 a < n，那麼 n = a×b / (b – a) 就迫使 b 是 n 的倍數，例如 b = n×c。則 n = a×nc / (nc – a) 表示 ac / (nc – a) = 1，這表示 ac = nc – a。重新整理後得到 nc = a(c + 1)。因為 n 是質數，所以 c + 1 = n，a = c = n – 1。因此，a = n – 1 且 b = n(n-1) 是唯一的解。