等額和 – 4
的挑戰
下圖是由四個重疊的圓構成的。重疊的圓形成了八個區域。請在每個區域中填入一個數字，1 到 8 中的每個數字只能使用一次，並且每個圓中數字總和都相等。
勘探
你能找到多少種不同的答案？你認為還有其他答案嗎？如果使用其他數值範圍會發生什麼？還有其他類似這樣的關於相交圓的有趣問題嗎？
筆記
挑戰與探索
首先確定所有圓的公共和有哪些可能的值。設這個值記為 Sum。設 A、B、C 和 D 分別為兩個圓相交的四個區域的面積。這四個圓的面積總和為 4 × Sum，也等於 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + A + B + C + D。因此，我們有等式 4 × Sum = 36 + A + B + C + D，所以 Sum = 9 + (A + B + C + D) / 4。 A + B + C + D 的最小值是 1 + 2 + 3 + 4 = 10。這個值必須能被整除，所以它的最小值是 12，這表示 Sum 的最小值是 9 + 12 / 4 = 12。
請注意，任何解都可以透過從 9 中減去所有元素而得到另一個解。這樣做會將原來的 Sum 變成 27 - Sum。因此，Sum 的可能值只有 12、13、14 和 15。由於 12 和 15 是一組，13 和 14 也是一組，所以我們只需要檢查 12 和 13 的解。
以下是和為 12 和 13 的解。結果表明，這兩個和只有這兩種解。
請注意，互不相交的圓的圓心數字總和相等。例如，在最左邊的圖中，8 + 4 = 5 + 7。用一些代數運算證明這一點總是成立。設 K 和 L 是兩個相對圓的圓心數字，M 和 N 是另外兩個圓的圓心數字。如果我們把 K 和 L 分別代表兩個圓的圓心數字，得到 2 × 和 = K + L + (A + B + C + D)。類似地，將 M 和 N 分別代表兩個圓的圓心數字，得到 2 × 和 = M + N + (A + B + C + D)。由此可知 K + L = M + N。
另外，請注意，由於 4 × Sum = 36 + A + B + C + D，我們得到 2 × Sum = M + N + (4 × Sum – 36)。改寫後得到 M + N = 36 – 2 × Sum。對於 Sum 的四個值（12 到 15），M + N 的值分別為 12、10、8 和 6。
因為 12 = 4 + 8 = 5 + 7 是唯一得到 12 的方法，所以上述和為 12 的解是唯一解。雖然 10 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 顯示和為 13 的可能性更多，但快速檢查 (2, 8)、(3, 7) 和 (4, 6) 這三種可能的組合即可發現，上述解是和為 13 的唯一解。