平鋪矩形
你有兩個難題。對於一個 1×n 的長方形，有多少種方法可以用 1×1 的正方形和 1×2 的長方形混合填滿？對於一個 2×n 的長方形，有多少種方法可以用 1×2 的長方形填滿？
的挑戰
為什麼這兩個謎題的答案都一樣？當填滿的矩形邊長為 10 時，答案是什麼？當長方形邊長為 20 時呢？
勘探
這兩個問題與之前的拼圖有何相似之處？如果我們用 1×1 和 1×3 的拼圖塊取代 1×n 的拼圖塊，情況會有什麼變化？如果我們用 1×1、1×2 和 1×3 的拼圖塊取代 1×n 的拼圖塊，情況又會有什麼變化？
筆記
+
-
的挑戰
懂得如何將先前的研究成果應用到新問題的部分或全部解決中是一項強大的技能。
這兩個拼圖本質上完全相同。 2×n矩形中的垂直拼圖塊對應於1×n矩形中的1×1拼圖塊，2×n矩形中的橫向拼圖塊對應於1×n矩形中的1×2拼圖塊。因此，這兩個拼圖之間實際上沒有任何區別。
此外，1×n矩形拼圖與「斐波那契數列2」中的步數拼圖完全相同。一步一步移動就像放入1×1的正方形，一步兩步移動就像放入1×2的長方形。這兩個拼圖本質上是相同的，因此分析和結果也相同。
勘探
如果我們使用 1×1 和 1×3 的矩形，情況就會大不相同。觀察前幾個數值，思考它們的計算方式。前幾個數值分別是 1、1、2、3、4、6 和 9。通常，下一個值是當前值與前兩個值總和。計算起來很簡單，但這不再是斐波那契數列了。
如果我們採用 1 對 1、1 對 2 和 1 對 3 的方式，情況會發生更顯著的變化。現在，前幾個值分別是 1、2、4、7、13 和 24。序列中的下一個值是前三個值的總和。
像這樣用包含前面項的公式來定義後續項的數列稱為遞迴數列。斐波那契數列並非唯一的遞歸數列，但它可能是最著名的。