Sınıq Kalkulyator – 1
Sizin çox xarab olan bir kalkulyatorunuz var. Onun yalnız işləyən düymələri 4, 7, + və --dir. Bu məhdud imkanla belə, hər ədədi yazmaq mümkündür. Məsələn:
1 = 4 + 4 – 7
2 = 4 + 4 + 4 + 4 – 7 – 7
ÇƏTİNLİK
Göstərin ki, bu kalkulyator 1-dən 12-yə qədər bütün ədədləri hesablaya bilir.
İZAHI
4 və 7-ni digər ədəd cütləri ilə əvəz edin. 1-dən 12-yə qədər bütün ədədləri nə vaxt tapmaq mümkündür, nə vaxt isə mümkün deyil? Bir cüt ədədə baxıb nə baş verəcəyini təxmin edə bilərsinizmi?
Qeydlər
ÇƏTİNLİK
Şagirdlər 4-ün istənilən qatını götürüb 7-nin istənilən qatına toplamaqla əldə edilə bilən bütün ədədlərlə təcrübə aparırlar. Bu barədə onlara məlumat verilmədən, onlar Bezout Teoremi adlanan teoremə baxırlar. Bu teorem deyir ki, iki ədədin qatlarının (həm müsbət, həm də mənfi) bütün mümkün kombinasiyaları iki ədədin ən böyük ortaq vurucusunun (bölənin) qatları çoxluğudur. 4 və 7-nin ən böyük ortaq vurucusu 1-dir, ona görə də bütün mümkün ədədləri əldə edə bilməliyik. Bundan əlavə, hər birini əldə etməyin sonsuz sayda yolu olacaq.
1-dən 12-yə qədər rəqəmlər üçün bir neçə nümunə:
- 1 = 4 + 4 – 7 = 9 x 4 – 5 x 7 = 16 x 4 – 9 x 7
- 2 = 7 + 7 – 4 – 4 – 4 = 6 x 7 – 10 x 4 = 10 x 7 – 17 x 4
- 3 = 7 – 4 = 5 x 7 – 8 x 4 = 9 x 7 – 15 x 4
- 4 = 4 = 4 x 7 – 6 x 4 = 8 x 7 – 13 x 4
- 5 = 3 x 4 – 7
- 6 = 2 x 7 – 2 x 4
- 7 = 7
- 8 = 2 x 4
- 9 = 3 x 7 – 3 x 4
- 10 = 2 x 7 – 4
- 11 = 4 + 7
- 12 = 3 x 4
Ən böyük ortaq vurucu üçün kombinasiya əldə etdikdən sonra, ən böyük ortaq vurucunun istənilən qatını əldə etmək üçün istifadə edə bilərsiniz. 4 və 7 üçün 1-i əldə etməyin bir yolu 2 x 4 – 7 kimidir. 23 kimi istənilən başqa ədədi 23 = 23 (2 x 4 – 7) = 46 x 4 – 23 x 7 yazmaqla əldə edə bilərik. Bir ədəd üçün bir həll əldə etdikdən sonra, ona 0 əlavə etməklə (bilirəm ki, qəribə səslənir) bütün digər həllərini əldə edə bilərik. Məsələn, 1 = 2 x 4 – 7 = (2 x 4 – 7) + (7 x 4 – 4 x 7) = 9 x 4 – 5 x 7 alırıq. İstədiyimiz hər hansı bir qatı (7 x 4 – 4 x 7) əlavə edə bilərik və bu, dəyəri dəyişməyəcək.
İZAHI
Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, bu proses iki ədədin ən böyük ortaq vurucusunun bütün qatlarını tam olaraq əldə edəcək. Əgər həmin BÜD 1-dirsə, onda bütün ədədlər əldə ediləcək.
Məsələn, 4 və 6-nı götürək. Onların BÜD-si 2-dir. 4 və 6-nın istənilən qatlarının kombinasiyası həmişə cüt olacaq, ona görə də hər ədədi çıxarmaq mümkün deyil. 4 və 6-nı 2-nin 2-yə vurulması və 3 kimi düşünsəniz, bu daha aydın olur. Bilirsiniz ki, 2 və 3-ün qatlarının cəmi bütün ədədləri çıxaracaq, çünki onlar nisbətən sadə ədədlərdir. Lakin, 4 və 6 bu cəmlərin hər birini götürəcək və onları 2-yə vuracaq, ona görə də 2-nin bütün qatlarını alacaqsınız!