Magični kvadrati – 4
U magičnom kvadratu, svi redovi, kolone i dijagonale daju isti broj. Ovaj prvi kvadrat nije magični kvadrat. Drugi je magični kvadrat sa konstantnim zbirom od 12.
IZAZOV
Popunite ova dva Magična kvadrata koristeći ova dva seta brojeva: 1) {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} i {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}.
ISTRAŽIVANJE
Pogledajte sve Magične kvadrate koje ste vidjeli, a koji nemaju duplikate. Napravite tabelu svojih rezultata i potražite obrasce. Ako biste dobili bilo koji drugi niz brojeva koji su ravnomjerno raspoređeni, kao što je {4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44}, biste li mogli odmah popuniti Magični kvadrat?
bilješke
IZAZOV I ISTRAŽIVANJE
Počnite s rješenjem standardne verzije ove slagalice od 1 do 9.
Da biste napravili Magični kvadrat od 6 do 14, jednostavno dodajte 5 svim tim unosima. Da biste napravili Magični kvadrat za {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}, jednostavno utrostručite sve unose prvobitnog rješenja.
Da vidimo zašto to funkcioniše. Pretpostavimo da imamo a + b + c = S, gdje je S zbir korišten za sve redove, kolone i dijagonale. U originalnoj slagalici 1 – 9, S je bilo 15.
Ako svim unosima dodamo 5, (a + 5) + (b + 5) + (c + 5) = (a + b + c) + 15 = S + 15. Unosi u novoj slagalici svi se zbirno povećavaju za 15 od originala, tako da se i dalje svi zbirno podudaraju.
Ako pomnožimo sa 3, tada je (3a) + (3b) + (3c) = 3(a + b + c) = 3S. Unosi u novoj slagalici daju zbir koji je tri puta veći od originala.
Ako uradimo bilo koju kombinaciju množenja i sabiranja, i dalje funkcioniše. Pretpostavimo da množimo sa m, a zatim dodamo n. Dobijamo (ma + n) + (mb + n) + (mc + n) = (ma + mb + mc) + (n + n + n) = m (a + b + c) + 3n = mS + 3n. Dakle, bez obzira na to koji su m i n, svi novi unosi na kraju daju isti zbir!
Naravno, vaši učenici nisu spremni za ovu algebru, ali prolazeći kroz ove primjere vidjet će obrasce kako ovo funkcionira.