říjen 2026

Novinky

Týdenní zázrak – Zvažte, zda se připojit k více než 2100 pedagogům a zaregistrovat se k odběru našich bezplatných týdenních e-mailů.

„Jako pedagog učitelů matematiky pravidelně pracuji s dětmi od první třídy až po studenty na vysoké škole a každý týden si užívám týdenní zázračné hádanky. Přihlásil jsem se na všechny! I když se hádanka může označovat jako mateřská škola až po druhý stupeň, zjistil jsem, že jsou zábavné pro lidi všech věkových kategorií… jsou dostatečně přístupné, aby si je mohl vyzkoušet i dítě z mateřské školy. Mezi různými ročníky existuje úžasné propojení a témata se týden od týdne rozvíjejí. Žák, kterého si hádanka užívá, by si mohl i sám představovat rozšíření. Vyzkoušejte je – pro své žáky nebo pro sebe!“ – John Golden, profesor matematiky na GVSU.

Dlaždice replicí

Existuje mnoho hravých způsobů, jak si děti mohou prohlédnout vyplňování tvarů menšími tvary. Obvykle se jedná o mnohoúhelníky, i když jimi nemusí být.

Mladší děti mohou používat bloky vzorů k vytváření vzorů a volných tvarů. Mohou dokonce řešit technické problémy, jako je zjišťování, kolika způsoby lze pomocí bloků vzorů vyplnit velký trojúhelník nebo šestiúhelník. Podobné věci lze dělat s tangramy nebo pentominy. Dalším směrem, kterým se lze vydat, je obkládání plochých povrchů jedním nebo více typy tvarů (tzv. teselace). O některých z těchto témat jsem psal v našem prosincovém zpravodaji z roku 2024.

V tomto zpravodaji chci prozkoumat, co se stane, když se tvar vyplní menšími verzemi sebe sama. Pokud je to vůbec možné, nazývá se takový tvar „rep-dlaždice“ – přiznávám, že matematici mají zvláštní smysl pro humor. Rep-dlaždice „Sfinga“ je na obrázku výše se čtyřmi kopiemi sebe sama, které ji vyplňují.

U opakujících se dlaždic jsou pravidelné dlaždice ty, kde všechny tvary mají stejnou velikost, nepravidelné dlaždice jsou ty, které nejsou pravidelné, a dokonalé dlaždice jsou nepravidelné dlaždice, kde žádné dva tvary nemají stejnou velikost.

Budeme se zabývat pouze příklady vhodnými pro děti, kde jsou velikosti dílků celočíselnými násobky jeden druhého.

Dost bylo všech těch definic a popisů, pojďme se podívat na pár příkladů.

Čtverce, obdélníky a pravidelné trojúhelníky

Existuje mnoho zábavných otázek, které lze položit ohledně vyplňování dlaždic s opakováním. Mnohé z nich jsou již EFM hádankami týdne. Také se trochu rozšíříme a podíváme se na vyplňování čtverce obdélníky nebo obdélníku čtverci.

Téma 1: Pokud vyplníte čtverec čtverečky, kolik čtverců je možné vytvořit? Co se stane s pravidelným, nepravidelným a dokonalým obkladem?

Otázka, kolik čtverců se může vyskytnout v nepravidelných obkladech, je EFM hádanka „ Vyplňování čtverců čtverci “. I když je srozumitelná pro poměrně malé dítě, vyžaduje trpělivost a vytrvalost od o něco staršího dítěte, aby se s ní vypořádalo, nebo alespoň od dítěte spolupracujícího s dospělým. Dokonalé obklady se nacházejí velmi těžko. Prozkoumání všech pravidelných obkladů čtverce nechám na vás.

Téma 2: Pokud pravidelný trojúhelník vyplníte takovými trojúhelníky, kolik trojúhelníků je možných? Co se stane v případě pravidelného, ​​nepravidelného a dokonalého obkladu?

Poněkud překvapivě je to velmi podobné tomu, co se děje u čtverců v tématu 1. Otázka, kolik pravidelných trojúhelníků se může vyskytnout, je EFM hádanka „ Vyplňování trojúhelníků trojúhelníky “ .

Téma 3: Dokážete určit velikosti čtverců, když dostanete kresbu obdélníku vyplněného čtverci?

Objevování způsobů, jak vyplnit čtverec nebo obdélník čtverci různých velikostí (dokonalé obklady), může být (pro každého) velmi složité. Zde je několik skvělých zdrojů na toto téma. Článek na Wikipedii o „ Squaring the Square “ (Skvaring čtverce) obsahuje skvělou sbírku ilustrací, popisů a odkazů na rozdělování čtverců mnoha způsoby. Pro naprosto skvělou sbírku těchto tipů se podívejte na „ Squaring.net “, kde najdete více nápadů na toto téma, než jste si kdy mysleli, že je možné.

Nicméně, určení velikostí čtverců pomocí existujícího výkresu není zdaleka tak obtížné a může to být zábavná hádanka. Dva příklady těchto hádanek najdete v EFM Hádankách týdne „ Perfektní obdélníky – 1 “ a „ Perfektní obdélníky – 2 “.

Téma 4: Můžete vyplnit čtverec obdélníky tak, aby se minimalizoval rozdíl v ploše největšího a nejmenšího obdélníku? Toto je Mondrianova umělecká skládačka, kterou vytvořil Gordon Hamilton.

Tato otázka je EFM puzzle „ Vyplňování čtverců různými políčky “. Jedním ze zábavných aspektů tohoto puzzle je, že se k němu můžete vždy vrátit a zjistit, zda můžete vylepšit svou dřívější práci, a je zde spousta prostoru pro diskusi o nápadech s ostatními.

Více dlaždic Rep

Nyní je čas pohrát si s exotičtějšími dlaždicemi s plazivými vzory. Existuje příliš mnoho tvarů dlaždic s plazivými vzory na to, abych se jich mohl dotknout byť jen reprezentativního vzorku. Následuje několik jednodušších příkladů, se kterými může pracovat i dítě. Chcete-li se podívat na větší katalog, podívejte se na stránku Wikipedie o tvarech „ Dlaždice s plazivými vzory “. Dlaždice s plazivými vzory jsou pro mě relativně novým tématem, takže následující otázky nebyly zahrnuty do kolekce EFM Puzzles of the Week.

Téma 5: Pokud vyplníte trojúhelníkový tvar L menšími tvary L, kolik tvarů L je možných?

Spočítání možných trojúhelníkových tvarů ve tvaru L je o něco složitější než u čtverců a trojúhelníků v tématech 1 a 2. Nechte dítě, ať si s tím pohraje, než mu ukážete výše uvedené diagramy.

Z těchto obrázků víme, že možné jsou čísla 1, 4 a 9. Použitím verze 4 můžeme nahradit libovolný tvar L čtyřmi – to nám říká, že možné je jakékoli číslo tvaru 1 + 3n. Podobně použití diagramu 9 nám říká, že možné je cokoli tvaru 1 + 8m. Kombinace těchto dvou myšlenek nám říká, že možné je cokoli tvaru 1 + 3n + 8m. Zeptejte se svého dítěte, jaké je nejstarší číslo, kdy v počtech dlaždic již nejsou žádné mezery – toto se láskyplně nazývá problém kuřete McNugget.

Téma 6: Pokud vyplníte čtyřčtvercový tvar L menšími tvary L, kolik tvarů L je možných? Zde jsou tři příklady.

Téma 7: Pokud vyplníte 5čtvercový tvar Utahu (čtverec 2 x 2 s čtvercem 1 x 1 nahoře) menšími tvary Utahu, kolik tvarů Utahu je možných?

Téma 8: Všechny trojúhelníky jsou dlaždice s opakujícím se vzorem. Jedním ze způsobů, jak to vidět, je spojit středy libovolného trojúhelníku a rozdělit ho tak na čtyři menší kopie sebe sama.

Zde jsou dva příklady opakujících se dlaždic, které jsou pravoúhlé trojúhelníky se dvěma stranami, které jsou celá čísla. Trojúhelníky v prvním řádku mají strany 1 – sqrt(3) – 2 a trojúhelníky ve druhém řádku mají strany 1 – 2 – sqrt(5). Existují i ​​další pravoúhlé trojúhelníky, které vytvářejí zajímavé dlaždice, ale obecně je to pro žáka základní školy příliš technické.

Zabalit

Doufám, že jste si s těmito dlaždicemi z papíru užili hraní a že prozkoumáte další možnosti, které dlaždice nabízejí. Některé z mých nadcházejících newsletterů se budou zabývat tím, jak vytvářet hravé tvary skládáním, stříháním nebo proplétáním kousků papíru různými způsoby. Těším se, až se do některých z těchto materiálů ponoříme hlouběji a společně je prozkoumáme!