Dokonalé obdélníky – 1
Obdélník, který lze vyplnit čtverci, z nichž žádné dva nemají stejnou velikost, se nazývá dokonalý obdélník. Zde je příklad dokonalého obdélníku o rozměrech 47 x 65, který je vyplněn 10 čtverci různých velikostí.
VÝZVA
Vypočítejte velikosti čtverců v tomto dokonalém obdélníku o rozměrech 33 x 32, který je vyplněn 9 čtverečky.
Poznámky
VÝZVA
Vaši studenti si mohou diagram pečlivě změřit, aby zjistili rozměry, ale doufejme, že si místo toho užijí výzvu v podobě řešení problémů.
Dobrým začátkem je šest čtverců v levém dolním rohu.
Nechť n je velikost nejmenšího čtverce a x velikost čtverce uprostřed spodního řádku (zkráceně MB).
Čtverce, které obklopují nejmenší čtverec, se při obtáčení nejmenšího čtverce zvětšují o n. Čtverec nad MB má velikost x – n a čtverec v levém dolním rohu má velikost x + n. Čtverec v pravém dolním rohu má také součet velikostí MB a čtverce nad MB, takže jeho velikost je x + (x – n) = 2x – n. Velikosti čtverců ve spodním „řádku“ tohoto diagramu se sčítají do 32, takže 32 = (x + n) + x + (2x – n) = 4x, což znamená x = 8.
Zásobník podél levé dolní strany je vysoký (x + n) + (x + 2n) = 2x + 3n. Zásobník tří čtverců dole uprostřed je x + (x -n) + prostřední čtverec = 2x – n + prostřední čtverec. Protože 2x + 3n = 2x – n + prostřední čtverec, má prostřední čtverec velikost 4n. Pokud by n bylo rovno 2, měli bychom dva čtverce o velikosti 8. Pokud by n bylo rovno 3 nebo větší, byl by prostřední čtverec příliš velký. Takže n = 1.
Pro x = 8 a n = 1 a při znalosti velikosti obdélníku 33 x 32 je vyplnění zbývajících čtverců automatické.
