Magické čtverce – 4
V magickém čtverci se součet všech řádků, sloupců a úhlopříček rovná stejnému číslu. První čtverec není magický čtverec. Druhý je magický čtverec s konstantním součtem 12.
VÝZVA
Doplňte tyto dva magické čtverce pomocí těchto dvou sad čísel: 1) {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} a {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}.
PRŮZKUM
Podívejte se na všechny Magické čtverce, které jste viděli a které neobsahují duplicitní položky. Vytvořte si tabulku výsledků a hledejte v nich nějaké vzorce. Pokud byste dostali jakoukoli jinou posloupnost čísel s rovnoměrnými rozestupy, například {4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44}, dokázali byste Magický čtverec okamžitě vyplnit?
Poznámky
VÝZVA A PRŮZKUM
Začněte řešením standardní verze této hádanky 1–9.
Chcete-li vytvořit magický čtverec s čísly 6 až 14, jednoduše přičtěte 5 ke všem těmto položkám. Chcete-li vytvořit magický čtverec pro {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}, jednoduše ztrojnásobte všechny položky původního řešení.
Podívejme se, proč to funguje. Předpokládejme, že máme a + b + c = S, kde S je součet použitý pro všechny řádky, sloupce a diagonály. V původním hádankářském řešení 1 – 9 bylo S 15.
Pokud ke všem položkám přičteme 5, (a + 5) + (b + 5) + (c + 5) = (a + b + c) + 15 = S + 15. Součet položek v nové skládačce je o 15 větší než v původní skládačce, takže stále dávají stejný (nový) výsledek.
Pokud vynásobíme 3, pak (3a) + (3b) + (3c) = 3(a + b + c) = 3S. Součet položek v nové skládačce je trojnásobek původní.
Pokud provedeme jakoukoli kombinaci násobení a sčítání, stále to funguje. Předpokládejme, že vynásobíme m a pak přičteme n. Dostaneme (ma + n) + (mb + n) + (mc + n) = (ma + mb + mc) + (n + n + n) = m (a + b + c) + 3n = mS + 3n. Takže bez ohledu na to, jaké je m a n, nové položky nakonec dají všechny součet stejný!
Vaši studenti samozřejmě nejsou na tuto algebru připraveni, ale projitím si těchto příkladů uvidí vzorce, jak to funguje.