Ødelagt lommeregner – 1
Du har en lommeregner, der er slemt i stykker. Dens eneste taster, der virker, er 4, 7, + og -. Selv med denne begrænsede funktion er det muligt at lave alle tal. For eksempel:
1 = 4 + 4 – 7
2 = 4 + 4 + 4 + 4 – 7 – 7
UDFORDRINGEN
Vis at denne lommeregner kan lave alle tal fra 1 til 12.
UDFORSKNING
Erstat 4 og 7 med andre talpar. Hvornår er det muligt at få alle tallene fra 1 til 12, og hvornår er det umuligt? Kan du se på et talpar og forudsige, hvad der vil ske?
Noter
UDFORDRINGEN
Eleverne eksperimenterer med alle de tal, der kan produceres ved at tage et hvilket som helst multiplum af 4 og lægge det til et hvilket som helst multiplum af 7. Uden at blive fortalt dette, ser de på det, der kaldes Bezouts sætning. Denne sætning siger, at alle mulige kombinationer af multiplaerne (både positive og negative) af to tal er mængden af multipla af den største fælles divisor (divisor) af de to tal. Den største fælles divisor af 4 og 7 er 1, så vi burde være i stand til at få alle mulige tal. Desuden vil der være et uendeligt antal måder at få hvert tal på.
Her er et par eksempler på tallene fra 1 til 12:
- 1 = 4 + 4 – 7 = 9 x 4 – 5 x 7 = 16 x 4 – 9 x 7
- 2 = 7 + 7 – 4 – 4 – 4 = 6 x 7 – 10 x 4 = 10 x 7 – 17 x 4
- 3 = 7 – 4 = 5 x 7 – 8 x 4 = 9 x 7 – 15 x 4
- 4 = 4 = 4 x 7 – 6 x 4 = 8 x 7 – 13 x 4
- 5 = 3 x 4 – 7
- 6 = 2 x 7 – 2 x 4
- 7 = 7
- 8 = 2x4
- 9 = 3 x 7 – 3 x 4
- 10 = 2 x 7 – 4
- 11 = 4 + 7
- 12 = 3x4
Når du har en kombination for den største fælles divisor, kan du bruge den til at få et hvilket som helst multiplum af den største fælles divisor. For 4 og 7 er én måde at få 1 på at være 2 x 4 – 7. Vi kan få et hvilket som helst andet tal, såsom 23, ved at skrive 23 = 23 (2 x 4 – 7) = 46 x 4 – 23 x 7. Når vi har én løsning for et tal, kan vi få alle de andre løsninger ved at lægge 0 til det (jeg ved, det lyder mærkeligt). For eksempel har vi 1 = 2 x 4 – 7 = (2 x 4 – 7) + (7 x 4 – 4 x 7) = 9 x 4 – 5 x 7). Vi kan lægge et hvilket som helst multiplum af (7 x 4 – 4 x 7) sammen, og det vil ikke ændre værdien.
UDFORSKNING
Som nævnt ovenfor vil denne proces producere præcis alle multipla af den største fælles divisor for de to tal. Hvis den største fælles divisor er 1, vil alle tal blive produceret.
Tag for eksempel 4 og 6. Deres største fælles faktor (GCF) er 2. Enhver kombination af multipla af 4 og 6 vil altid være lige, så det er umuligt at producere alle tal. Dette bliver mere tydeligt, hvis du tænker på 4 og 6 som 2 gange 2 og 3. Du ved, at summer af multipla af 2 og 3 vil producere alle tal, fordi de er relativt primtal. 4 og 6 vil dog tage hver af disse summer og gange dem med 2, så det er derfor, du får alle multipla af 2!