Magiske firkanter – 4
I et magisk kvadrat summerer alle rækker, kolonner og diagonaler til det samme tal. Dette første kvadrat er ikke et magisk kvadrat. Det andet er et magisk kvadrat med en konstant sum af 12.
UDFORDRINGEN
Udfyld disse to magiske firkanter med disse to sæt tal: 1) {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} og {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}.
UDFORSKNING
Se på alle de magiske firkanter, du har set, som ikke har dubletter. Lav en tabel over dine resultater, og se efter mønstre. Hvis du fik en anden talrække, der er ligeligt fordelt, såsom {4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44}, ville du så være i stand til at udfylde den magiske firkant med det samme?
Noter
UDFORDRINGEN & UDFORSNINGEN
Start med løsningen til standardversionen 1-9 af denne gåde.
For at lave en magisk firkant med 6 til 14, skal du blot lægge 5 til alle disse værdier. For at lave en magisk firkant for {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}, skal du blot tredoble alle værdierne i den oprindelige løsning.
Lad os se, hvorfor det virker. Antag, at vi har a + b + c = S, hvor S er summen, der bruges til alle rækker, kolonner og diagonaler. I det originale 1-9-puslespil var S 15.
Hvis vi lægger 5 til alle puslespillet, er (a + 5) + (b + 5) + (c + 5) = (a + b + c) + 15 = S + 15. Puslespillets samlede sum er 15 mere end originalen, så de giver stadig alle det samme (nye) beløb.
Hvis vi ganger med 3, så er (3a) + (3b) + (3c) = 3(a + b + c) = 3S. Lodderne i det nye puslespil giver en sum, der er tre gange den oprindelige.
Hvis vi laver en hvilken som helst kombination af multiplikation og addition, virker det stadig. Antag, at vi ganger med m og derefter lægger n til. Vi får (ma + n) + (mb + n) + (mc + n) = (ma + mb + mc) + (n + n + n) = m (a + b + c) + 3n = mS + 3n. Så uanset hvad m og n er, ender de nye poster alle med at give det samme tal!
Selvfølgelig er dine elever ikke klar til denne algebra, men ved at gennemgå disse eksempler vil de se mønstrene i, hvordan det fungerer.