Magiske firkanter – 3
I en Magic Square, alle rækker, kolonner og diagonaler giver det samme tal. Dette første kvadrat er ikke et magisk kvadrat. Det andet er et magisk kvadrat med en konstant sum af 12.
UDFORDRINGEN
Brug hvert af tallene fra 0 til 8 én gang for at fuldføre denne magiske firkant.
UDFORSKNING
Kan du finde mere end én måde at gøre det på? Hvad har de forskellige måder til fælles? Hvordan ville dit svar ændre sig, hvis du brugte tallene fra 1 til 9? Hvad med de lige tal fra 2 til 18?
Noter
UDFORDRINGEN
Lad dine elever lege med dette. Hvis de er opmærksomme på, hvad de laver, vil de opdage interessante sammenhænge og få meget ud af det. For unge elever er der absolut ingen grund til at gå i gang med nogen form for omhyggelig analyse. Det følgende er en mere analytisk måde at finde løsningerne på.
Fælles sum: Den enkleste måde at begynde at analysere denne gåde på er at finde den fælles sum. Hver række lægger sig sammen til den fælles sum. De tre rækker indeholder også tallene fra 0 til 8 og lægger sig sammen til tre gange den fælles sum. Derfor er tre gange den fælles sum 36 (summen af 0 til ), så den fælles sum er 12.
Central Square: Det næste trin er at lægge de fire linjer sammen, der går gennem den midterste firkant. Den almindelige sum er 12, og der er fire linjer, så deres sum skal være 4 x 12 = 48. Alternativt indeholder de fire linjer hvert tal én gang, plus den midterste firkant tre gange mere. Summen af tallene fra 0 til 8 er 36. Så 48 er lig med 36 plus 3 gange den midterste firkant. Så den midterste firkant skal være 4.
Lægger man op til 12: Der er overraskende få måder at lægge op til 12. De er:
(0 4 8) (1 4 7) (2 4 6) (3 4 5) (0 5 7) (1 3 8) (1 5 6) (2 3 7)
Du kan finde ud af meget på denne liste. Se hvor ofte et tal optræder i en triplet:
- 4 gange: 4
- 3 gange: 1, 3, 5, 7
- 2 gange: 0, 2, 6, 8
Sammenlign derefter dette med, hvor mange gange en firkant i diagrammet er i en af linjerne. Du vil se, at den midterste firkant er i fire linjer, hjørnefirkanterne er i tre linjer, og midten af siderne er i to linjer. Dette er en anden måde at se, at den midterste firkant skal være 4. Hjørnerne skal også være 1, 3, 5 og 7, og midten af siderne skal være 0, 2, 6 og 8.
Fyld pladsen op: Det hårde arbejde er gjort. Start med 4 i midten og sæt 7 i det ene hjørne. Bemærk, at 0 skal stå ved siden af 7 på den ene eller den anden side (ellers ville 8 blive tvunget ud for 7). Du har ingen valgmuligheder derefter. Ét svar, rækkevis, er: (7 0 5) (2 4 6) (3 8 1). Bemærk, at dette er det samme som ethvert andet svar ved at rotere firkanten og muligvis vende den.
UDFORSKNING
Som nævnt i sidste afsnit er alle løsningerne stort set de samme – drej firkanten, indtil 7'erne er i samme hjørne, og tag spejlbilledet (hvis nødvendigt) langs diagonalen for at placere 0'et i samme position.
At løse denne gåde for 1 til 9 ville betyde at lægge 1 til hver post i 0 til 8-løsningen. At løse denne gåde for 2 til 18 ville betyde at fordoble alle poster i 1 til 9-løsningen.