oktober 2026

Nyheder

Ugentlig vidunder – Overvej at blive en del af over 2100 undervisere og tilmeld dig vores gratis ugentlige e-mails.

"Som matematiklærer arbejder jeg regelmæssigt med børn fra første klasse og helt op til universitetsstuderende, og jeg har nydt de ugentlige vidunderopgaver hver uge. Jeg har tilmeldt mig dem alle! Selvom en opgave måske kaldes børnehaveklasse-2. klasse, har jeg fundet dem sjove for folk i alle aldre ... de er lige tilgængelige nok til, at en børnehavebørn kan prøve dem. Der er vidunderlige forbindelser mellem de forskellige klassetrin og temaer, der udvikler sig fra uge til uge. En elev, der nyder en opgave, kan måske selv lave udvidelser. Prøv dem – til dine elever eller dig selv!" – John Golden, professor i matematik ved GVSU.

Rep-fliser

Der er mange legende måder, hvorpå børn kan se på at udfylde figurer med mindre figurer. Typisk er disse figurer polygoner, selvom de ikke behøver at være det.

Yngre børn kan bruge mønsterblokke til at lave mønstre og frie former. De kan endda arbejde med tekniske udfordringer med at finde ud af, hvor mange måder de kan fylde en stor trekant eller sekskant med mønsterblokke. Lignende ting kan gøres med tangrammer eller pentominoer. At flisebelægge flade overflader med en eller flere typer former (kaldet tessellationer) er en anden retning at gå. Jeg skrev om nogle af disse emner i vores nyhedsbrev fra december 2024.

I dette nyhedsbrev vil jeg undersøge, hvad der sker, når man udfylder en form med mindre versioner af sig selv. Når det overhovedet er muligt, kaldes formen en "rep-flise" – jeg indrømmer, at matematikere har en mærkelig sans for humor. "Sfinks"-rep-flisen er afbilledet ovenfor med fire kopier af sig selv, der udfylder den.

For en rep-flise er regelmæssige fliselægninger dem, hvor alle formerne har samme størrelse, uregelmæssige fliselægninger er dem, der ikke er regelmæssige, og perfekte fliselægninger er uregelmæssige fliselægninger, hvor ingen to af formerne har samme størrelse.

Vi vil kun se på børneegnede eksempler, hvor størrelserne af brikkerne er hele multipla af hinanden.

Nok med alle definitionerne og beskrivelserne, lad os se på nogle eksempler.

Kvadrater, rektangler og regelmæssige trekanter

Der er mange sjove spørgsmål at stille om at fylde rep-fliser. Mange af disse er allerede EFM Ugens Puslespil. Vi vil også udvide tingene lidt ved at se på at fylde en firkant med rektangler eller et rektangel med firkanter.

Emne 1: Hvis du fylder en firkant med firkanter, hvor mange firkanter er så mulige? Hvad sker der for regelmæssige, uregelmæssige og perfekte flisebelægninger?

Spørgsmålet om, hvor mange firkanter der kan forekomme i uregelmæssige fliselægninger, er EFM-gåden " Fyldning af firkanter med firkanter ". Selvom det er forståeligt for et forholdsvis lille barn, kræver det tålmodighed og vedholdenhed fra et lidt ældre barn at klare gåden, eller i det mindste et barn, der arbejder sammen med en voksen. Perfekte fliselægninger er meget svære at finde. Jeg overlader det til dig at undersøge alle de regelmæssige fliselægninger i et firkant.

Emne 2: Hvis du udfylder en regulær trekant med sådanne trekanter, hvor mange trekanter er så mulige? Hvad sker der for regulære, uregelmæssige og perfekte flisebelægninger?

Lidt overraskende er dette meget lig det, der sker for kvadrater i emne 1. Spørgsmålet om, hvor mange regulære trekanter der kan forekomme, er EFM-gåden " Udfyldning af trekanter med trekanter " .

Emne 3: Kan du bestemme størrelsen på kvadraterne, når du får en tegning af et rektangel fyldt med kvadrater?

Det kan være meget vanskeligt (for alle) at finde måder at udfylde et kvadrat eller rektangel med kvadrater i forskellige størrelser (perfekte fliser). Her er et par gode ressourcer om dette emne. Wikipedia-artiklen om " Squaring the Square " har en vidunderlig samling af illustrationer, beskrivelser og referencer til at opdele kvadrater på mange måder. For en fuldstændig overdrevet samling af disse, se " Squaring.net " for at se flere ideer om dette emne, end du nogensinde troede var muligt.

Det er dog ikke nær så svært at finde ud af størrelserne på firkanterne ved hjælp af en eksisterende tegning, og det kan være en sjov opgave. For to eksempler på disse opgaver, se EFM-ugens opgaver " Perfekte rektangler - 1 " og " Perfekte rektangler - 2 ".

Emne 4: Kan man udfylde et kvadrat med rektangler på en sådan måde, at forskellen i arealet af det største rektangel og det mindste rektangel minimeres? Dette er Mondriansk kunstpuslespil skabt af Gordon Hamilton.

Dette spørgsmål er EFM-puslespillet " Udfyldning af firkanter med forskellige bokse ". Et sjovt aspekt ved dette puslespil er, at du altid kan vende tilbage til det for at se, om du kan forbedre dit tidligere arbejde, og der er masser af plads til at diskutere ideer med andre.

Flere Rep-fliser

Nu er det tid til at lege med nogle mere eksotiske reptilfliser. Der er alt for mange reptilfliseformer til, at jeg kan berøre selv en repræsentativ prøve. Det følgende er et par af de nemmere eksempler for et barn at arbejde med. For at se et større katalog, se Wikipedia-siden om " Rep-Tile "-former. Reptilfliser er et relativt nyt emne for mig, så de følgende spørgsmål er ikke blevet indarbejdet i EFM Ugens Puslespil-samling.

Emne 5: Hvis du udfylder en 3-kvadratisk L-form med mindre L-former, hvor mange L-former er så mulige?

Det er lidt vanskeligere at tælle de mulige 3-kvadratiske L-former end for kvadraterne og trekanterne i emne 1 og 2. Lad dit barn lege med dette, før du viser dem diagrammerne ovenfor.

Ud fra disse billeder ved vi, at 1, 4 og 9 alle er mulige. Ved at bruge 4-versionen kan vi erstatte en hvilken som helst L-form med 4 af dem – dette fortæller os, at ethvert tal på formen 1 + 3n er muligt. På samme måde fortæller brugen af ​​9-diagrammet os, at alt på formen 1 + 8m er muligt. Ved at kombinere de to ideer fortæller vi os, at alt på formen 1 + 3n + 8m er muligt. Spørg dit barn, hvad det tidligste tal er, når der ikke er flere huller i fliseoptællingerne – dette er kærligt kendt som Chicken McNugget-problemet.

Emne 6: Hvis du udfylder en 4-kvadratisk L-form med mindre L-former, hvor mange L-former er så mulige? Her er tre eksempler.

Emne 7: Hvis du udfylder en 5-kvadratisk Utah-figur (en 2 x 2-kvadrat med en 1 x 1-kvadrat ovenpå) med mindre Utah-figurer, hvor mange Utah-figurer er så mulige?

Emne 8: Alle trekanter er rep-fliser. En måde at se dette på er at forbinde midtpunkterne i en hvilken som helst trekant for at opdele den i fire mindre kopier af sig selv.

Her er to eksempler på repetitionsfliser, der er retvinklede trekanter med to sider, der er hele tal. Trekanterne i første række har siderne 1 – sqrt(3) – 2, og trekanterne i anden række har siderne 1 – 2 – sqrt(5). Der er andre retvinklede trekanter, der skaber interessante fliselægninger, men generelt er dette for teknisk for en folkeskoleelev.

Wrap Up

Jeg håber, I har haft glæde af at lege med disse rep-fliser, og at I vil udforske andre muligheder, som rep-fliser tilbyder. Nogle af mine kommende nyhedsbreve vil se på, hvordan man skaber legende former ved at folde, klippe eller væve papirstykker på forskellige måder. Jeg glæder mig til at dykke dybt ned i noget af det materiale og udforske det sammen!