Rechtecke vermeiden – 2
Die X in einem Gitter können die Ecken von Rechtecken mit horizontalen und vertikalen Seiten bilden. Die X im ersten Gitter bilden zwei Rechtecke. Ziel ist es jedoch, die Bildung von Rechtecken zu vermeiden. Die X im zweiten Gitter sind so angeordnet, dass keine Rechtecke entstehen.
DIE HERAUSFORDERUNG
Platziere so viele X wie möglich in diesem 4x4-Gitter und vermeide dabei die Bildung von Rechtecken.
ERKUNDUNG
Was ist der maximale Wert, den Sie für andere Rastergrößen erreichen können? Erkennen Sie irgendwelche Muster in Ihren Antworten?
Notizen
DIE HERAUSFORDERUNG
Dies im Allgemeinen zu lösen, ist ein sehr schwieriges, ungelöstes Problem der Mathematik. Das sollte Schüler jedoch nicht davon abhalten, damit zu experimentieren und dabei viele interessante Dinge zu lernen.
Angenommen, das Gitter hat m Zeilen und n Spalten. In „Rechtecke vermeiden – 1“ haben wir die folgenden Ergebnisse für die besten Lösungen gefunden.
1. und 2. Zeile: Wir hatten m + n – 1 X.
3 Zeilen: Wir hatten m + n X, ausgehend von einem 3x3-Gitter, das wie folgt aussah. Mit diesem Diagramm können wir, wenn wir 3 Zeilen mit mehr Spalten hätten, einfach in jede neue Spalte ein einzelnes X hinzufügen.
Der 3x3-Fall erforderte eine andere Herangehensweise als die Strategie mit 1 oder 2 Zeilen, und es liegt nahe anzunehmen, dass auch die Beispiele mit 4 oder mehr Zeilen neue Überlegungen erfordern. Um es klarzustellen: Wir möchten eine Gruppe von Spalten erstellen, die niemals zwei Zeilen mit X gemeinsam haben.
Eine Strategie besteht darin, alle Felder in der linken Spalte außer dem untersten auszufüllen. In den restlichen Spalten wird jeweils ein X in der untersten und in einer weiteren Zeile eingetragen. Dies funktioniert immer und ergibt (m – 1) + 2 × (m – 1) = 3 × (m – 1) X für ein m × m großes Quadratgitter. Diese Methode lässt sich erweitern (indem man in jeder neuen Spalte ein X hinzufügt), sodass sich für Gitter mit m Zeilen 3 × (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 X ergibt, wenn m < n. Diese Formel gilt für alle bisherigen Lösungen für Gitter beliebiger Größe (mit mehr als einer Zeile).
ERKUNDUNG
Die Suche nach den besten Antworten im Internet zeigt, dass man für den 5x5-Fall 12 X-Schritte machen kann (was man mit Hilfe des Musters erreichen kann) und dann für den 6x6-Fall 16 X-Schritte (hier gezeigt).
Danach folgen die Zahlen, beginnend mit 7 mal 7, der Reihe nach: 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115 und 122. Mathematiker haben viele interessante Untersuchungen dazu angestellt, wie diese Zahlen funktionieren, und auch Ihre kleinen Mathematiker können damit viel Spaß haben!
