Ägyptische Brüche – 4
Vor etwa 4000 Jahren entwickelten die alten Ägypter ein System, in dem alle ihre Brüche die Form hatten.
1/n. Diese werden genannt Ägyptische BrücheManche ägyptischen Brüche lassen sich als Differenz zweier Zahlen schreiben.
Ägyptische Brüche. ⅓ = ½ – ⅙ ist ein Beispiel dafür.
DIE HERAUSFORDERUNG
Welche ägyptischen Brüche lassen sich als Differenz zweier ägyptischer Brüche in nur einem Ausdruck schreiben?
Gibt es nur eine Möglichkeit? Welche lassen sich auf genau zwei Arten schreiben? Gibt es welche, die mehr als zwei Möglichkeiten haben?
1/N = 1/A – 1/B
Notizen
DIE HERAUSFORDERUNG
Es ist wichtig zu beachten, dass es für jedes n nur eine begrenzte Anzahl möglicher Lösungen gibt. Wenn 1/N = 1/A – 1/B, dann ist 1/A – 1/N = 1/B > 0. 1/A – 1/N > 0 bedeutet, dass N > A. Somit gilt 1 < A < N, was bedeutet, dass es höchstens N – 2 Lösungen gibt. Diese lassen sich, wenn auch etwas mühsam, durch Überprüfung aller Werte von A in diesem Bereich finden.
Bei Nennern, die gerade Zahlen sind, beispielsweise 2d, gilt immer 1/2d = 1/d – 1/2d.
Eine weitere Möglichkeit, Differenzen zu erzeugen, besteht darin, mit einer Additionsformel zu beginnen. Die einfachste lautet: 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)]. Daraus ergibt sich: 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1)]. Eine allgemeinere Form ist: 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)], was zu 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)] wird, wobei ab > 1.
Immer wenn sich der Nenner als a(a+b) faktorisieren lässt, wobei a und b positiv und ab > 1 ist, haben wir eine Differenz. Da sich jede Zahl n > 2 als n = 1 × (1 + (n-1)) schreiben lässt, kann jeder ägyptische Bruch mindestens auf eine Weise als Differenz dargestellt werden. Hier einige Beispiele:
- ⅓: a = 1, b = 2 ergibt ½ – ⅙
- ¼: a = 1, b = 3 ergibt ⅓ – 1/12
- ⅕: a = 1, b = 4 ergibt ¼ – 1/20
- ⅙: a = 1, b = 5 ergibt ⅕ – 1/30; a = 2, b = 1 ergibt ½ – ⅓
- 1/7: a = 1, b = 6 ergibt ⅙ – 1/42
- ⅛: a = 1, b = 7 ergibt 1/7 – 1/56; a = 2, b = 2 ergibt ¼ – 1/8
Das ist noch nicht alles. Zum Beispiel haben wir ⅙ = ¼ – 1/12 vergessen.
Für a > 1 und b > a > 1 gilt 1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab. Durch Kürzen der Nenner erhält man ab = n(ba), und durch Auflösen nach n ergibt sich n = ab/(ba). Sobald wir a und b finden, für die dies gilt, können wir die Differenz berechnen.
Betrachten wir nun die vollständigen Lösungen einiger Beispiele aus dieser Perspektive und versuchen wir, ein Muster zu erkennen.
- 3 = 2 x 6 / (6 – 2)
- 4 = 2 x 4 / (4 -2) = 3 x 12 / (12 – 3)
- 5 = 4 x 20 / (20 – 4)
- 6 = 2 x 3 / (3 – 2) = 3 x 6 / (6 – 3) = 4 x 12 / (12 – 4) = 5 x 30 / (30 – 5)
- 7 = 6 x 42 / (42 – 6)
- 8 = 4 x 8 / (8 – 4) = 6 x 24 / (24 – 6) = 7 x 56 / (56 – 7)
Anhand dieser Beispiele scheint es wahrscheinlich, dass es nur eine Lösung gibt, wenn n eine Primzahl ist. Sehen wir uns an, warum. Wenn n eine Primzahl und a < n ist, dann zwingt n = axb / (b – a) b dazu, ein Vielfaches von n zu sein, also b = nxc. Dann besagt n = axnc / (nc – a), dass ac / (nc – a) = 1, was bedeutet, dass ac = nc – a. Umgeschrieben ergibt sich nc = a(c + 1). Da n eine Primzahl ist, gilt c + 1 = n und a = c = n – 1. Somit ist a = n – 1 und b = n(n – 1) die einzige Lösung.