Gleiche Summen – 2
DIE HERAUSFORDERUNG
Hier ist ein Diagramm, das durch Überlappung dreier Kreise entsteht. Die überlappenden Kreise bilden sechs Bereiche. Trage in jeden der sechs Bereiche eine Zahl ein, wobei jede der Zahlen von 1 bis 6 genau einmal verwendet werden darf, sodass die Summe der Zahlen in jedem Kreis gleich ist.
ERKUNDUNG
Wie viele verschiedene Antworten können Sie finden? Woran erkennen Sie, dass Sie alle gefunden haben?
Notizen
DIE HERAUSFORDERUNG & ERKUNDUNG
Hier sind die vier Lösungen. Um zu verstehen, warum es nur diese gibt, seien A, B und C die drei Bereiche, in denen sich zwei Kreise schneiden, und Sum die gemeinsame Summe der drei Kreise. Die Gesamtsumme lässt sich auf zwei Arten berechnen. Als Summe der drei Kreise ergibt sie 3 × Sum. Als Summe aller sechs Zahlen plus A, B und C ergibt sie 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + A + B + C. Da beide Ausdrücke gleich sind, erhalten wir 3 × Sum = 21 + A + B + C. Dividiert man durch 3, erhält man Sum = 7 + (A + B + C)/3.
Damit die Summe in dieser letzten Gleichung eine ganze Zahl ist, muss A + B + C durch 3 teilbar sein. Dies lässt nur vier Möglichkeiten für A + B + C zu – es ist entweder 6, 9, 12 oder 15, und die entsprechenden Werte für die Summe sind 9, 10, 11 oder 12.
Die vier hier angegebenen Lösungen haben Summenwerte von 9, 10, 11 und 12. Wie wir sehen werden, sind dies alle Lösungen!
Um etwas Arbeit zu sparen, sei angemerkt, dass wir durch Subtraktion aller Werte von 7 von einer Lösung eine neue Lösung erhalten. Die Summe dieser neuen Lösung beträgt dann 21 – (alte Summe). Somit ergeben die Lösungen für die Summenwerte 9 und 10 die Lösungen für die Summenwerte 11 und 12.
Wenn A + B + C = 6, dann sind A, B und C gleich 1, 2 und 3, und die Summe ist gleich 9. Das ist die Lösung oben links.
Wenn A + B + C = 9, dann ist die Summe gleich 10 und (A, B, C) ist entweder (1, 2, 6), (1, 3, 5) oder (2, 3, 4). Eine Überprüfung zeigt, dass (1, 2, 6) und (2, 3, 4) nicht möglich sind. Somit bleibt die Lösung oben rechts als einzige Lösung mit der Summe 10 übrig.
Vergleicht man „Gleiche Summen – 2“ mit „Magische Dreiecke – 1“, so stellt man fest, dass es sich um dasselbe Rätsel handelt!