Gleiche Summen – 4
DIE HERAUSFORDERUNG
Hier ist ein Diagramm, das durch Überlappung von vier Kreisen entsteht. Die überlappenden Kreise bilden acht Bereiche. Trage in jeden der acht Bereiche eine Zahl ein, wobei jede der Zahlen von 1 bis 8 genau einmal verwendet werden darf, sodass die Summe der Zahlen in jedem Kreis gleich ist.
ERKUNDUNG
Wie viele verschiedene Lösungen findest du? Glaubst du, es gibt noch weitere? Was passiert, wenn du andere Zahlenbereiche verwendest? Gibt es noch andere interessante Probleme dieser Art mit sich schneidenden Kreisen?
Notizen
DIE HERAUSFORDERUNG & ERKUNDUNG
Zunächst bestimmen wir die möglichen Summen aller Kreise. Diese Summe sei Sum. A, B, C und D bezeichnen die vier Bereiche, in denen sich zwei Kreise schneiden. Die Summe der vier Kreise ist 4 × Sum und gleichzeitig 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + A + B + C + D. Daraus ergibt sich die Gleichung 4 × Sum = 36 + A + B + C + D, also Sum = 9 + (A + B + C + D) / 4. Die kleinste mögliche Summe von A + B + C + D ist 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Da diese Zahl teilbar sein muss, ist ihr kleinster Wert 12. Somit ist der kleinste mögliche Wert von Sum = 9 + 12 / 4 = 12.
Beachten Sie, dass jede Lösung in eine andere umgewandelt werden kann, indem man alle Einträge von 9 subtrahiert. Dadurch wird aus der ursprünglichen Summe 27 – Summe. Folglich sind die einzigen möglichen Werte für die Summe 12, 13, 14 und 15. Da 12 und 15 sowie 13 und 14 gleichrangig sind, müssen wir nur die Lösungen für 12 und 13 überprüfen.
Hier sind die Lösungen für die Summe mit den Werten 12 und 13. Es stellt sich heraus, dass dies die einzigen Lösungen für diese beiden Summen sind.
Man beachte, dass die Summe der Zahlen in den Mittelpunkten von Kreisen, die sich nicht berühren, immer gleich ist. Im linken Diagramm beispielsweise ist 8 + 4 = 5 + 7. Beweisen Sie dies mithilfe von Algebra. Seien K und L die Werte in den Mittelpunkten zweier gegenüberliegender Kreise und M und N die beiden anderen Werte. Addiert man die Flächen der beiden Kreise für K und L, erhält man 2 × Summe = K + L + (A + B + C + D). Analog dazu ergibt die Addition der Flächen der beiden Kreise für M und N 2 × Summe = M + N + (A + B + C + D). Daraus folgt K + L = M + N.
Beachten Sie außerdem, dass 4 × Summe = 36 + A + B + C + D gilt. Daraus folgt 2 × Summe = M + N + (4 × Summe – 36). Umgeschrieben ergibt sich M + N = 36 – 2 × Summe. Für unsere vier Werte von Summe, 12 bis 15, sind die Werte von M + N 12, 10, 8 und 6.
Da 12 = 4 + 8 = 5 + 7 die einzigen Möglichkeiten sind, 12 zu erhalten, ist die obige Lösung für die Summe 12 die einzige. Obwohl 10 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 darauf hindeutet, dass es weitere Möglichkeiten für die Summe 13 gibt, zeigt eine kurze Überprüfung der drei möglichen Paarungen (2, 8), (3, 7) und (4, 6), dass die obige Lösung die einzige für die Summe 13 ist.