Quadrate mit Quadraten füllen
Hier erfahren Sie, wie Sie ein großes Quadrat mit 1, 4 oder 7 Quadraten füllen können.
DIE HERAUSFORDERUNG
Finde andere Anzahlen von Quadraten, um ein großes Quadrat auszufüllen. Kannst du das für 2, 3, 5, 6, 8, 9 oder 10 Quadrate tun?
ERKUNDUNG
Wenn möglich, sollten Sie mehr als einen Weg finden, um einige dieser Zahlen zu erhalten.
Notizen
DIE HERAUSFORDERUNG
Hier ist eine systematische Methode, um verschiedene Zählungen zu erstellen.
Quadrate: Ein guter Ausgangspunkt sind Quadratzahlen. Es ist einfach, ein Quadrat mit 1, 4 und 9 Quadraten zu füllen, indem man es jeweils in einem 1x1-, 2x2- bzw. 3x3-Muster ausfüllt.
Gerade Zahlen: Nach einigem Ausprobieren können Sie Muster für 6, 8, 10 oder jede andere größere gerade Zahl wie folgt erstellen. Beginnen Sie mit einem großen Quadrat und fügen Sie dann kleinere Quadrate an zwei Seiten hinzu, wie in diesen Zeichnungen.
Ersetzen eines Quadrats: Der nächste wichtige Schritt besteht darin zu erkennen, dass jedes Quadrat einer Lösung durch ein beliebiges anderes Quadrat ersetzt werden kann. Dies wurde beispielsweise bei der Erstellung des Musters für die Zahl 7 in der Einleitung demonstriert – das Quadrat unten rechts für die Zahl „4“ wurde durch vier kleinere Quadrate ersetzt, um die Zahl „7“ zu erzeugen.
Wenn ein Quadrat durch vier Quadrate ersetzt wird, erhöht sich die Gesamtzahl der Quadrate um 3. Wir beginnen mit der Liste der Lösungen mit Quadratzahlen und geraden Zahlen: 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 und 16. Addiert man zu jedem Eintrag dieser Liste 3, erhält man 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15 und 17. Kombiniert man diese beiden Listen, erhält man alle Möglichkeiten bis 17: 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 und 17. Mit diesen Überlegungen lassen sich alle Zahlen über 17 leicht berechnen, und so gelangen wir zu dem Schluss:
Antwort: Alle Zahlen sind möglich, außer 2, 3 und 5.
ERKUNDUNG
Manche dieser Zahlen lassen sich auf mehrere Arten darstellen. Zum Beispiel kann die 9 als 3x3-Muster oder als 6 plus drei dargestellt werden.
Es gibt viele weitere Muster, die anders als in diesen Beispielen erstellt werden können. Man kann beispielsweise mit einem 4x4-Quadrat beginnen und jeweils 2x2-Quadrate zu einzelnen 2x2-Quadraten zusammenfassen – dadurch verringert sich die Gesamtzahl jedes Mal um 3.