Quadrate finden – 2
In diesem Raster sind rot eingezeichnet zwei 1x1-Quadrate und ein 2x2-Quadrat mit horizontalen und vertikalen Seiten.
DIE HERAUSFORDERUNG
Ermitteln Sie die Anzahl der Quadrate aller Größen und Ausrichtungen in diesem Gitter. Anders als in der Einleitung dargestellt, haben nicht alle diese Quadrate horizontale und vertikale Seiten!
ERKUNDUNG
Experimentieren Sie mit größeren Rastern und mit Rastern, die keine Quadrate sind.
Notizen
DIE HERAUSFORDERUNG
Die möglichen Quadrate mit horizontalen und vertikalen Seiten haben Seitenlängen von 1 bis eins weniger als die Anzahl der Zeilen/Spalten.
Betrachten Sie für jede Quadratgröße die obere linke Ecke als Startposition. Sie können alle Quadrate dieser Größe im Gitter erzeugen, indem Sie dieses Startquadrat verschieben. Sie können es entweder nach rechts oder um die verbleibende Anzahl an Positionen nach unten verschieben. Dies sind unabhängige Entscheidungen, daher erhalten Sie Quadrat dieser Größe.
Nehmen wir beispielsweise an, Sie zählen die 2x2-Quadrate in diesem 5x5-Gitter. Ein 2x2-Quadrat in der oberen linken Ecke kann um 1 oder 2 Felder nach rechts und um 1 oder 2 Felder nach unten verschoben werden. Es gibt also 3 mögliche Positionen horizontal (einschließlich der ursprünglichen Position) und 3 mögliche Positionen vertikal. Somit gibt es 3x3 dieser 1x1-Quadrate.
Für das ursprüngliche 5x5-Gitterproblem ergibt sich folgende Anzahl von Quadraten mit horizontalen und vertikalen Seiten:
- 1 mal 1 Quadrate: 4 x 4 = 16
- 2 mal 2 Quadrate: 3 x 3 = 9
- 3 mal 3 Quadrate: 2 x 2 = 4
- 4 mal 4 Quadrate: 1 x 1 = 1.
Es gibt insgesamt 16 + 9 + 4 + 1 = 30 mögliche Quadrate mit horizontalen und vertikalen Seiten.
Bei den restlichen Quadraten ist es wichtig, beim Zählen weiterhin systematisch vorzugehen. Ich beschreibe ein Quadrat anhand der Funktion einer seiner Seiten. Zum Beispiel ein Quadrat, dessen Seite eins nach rechts und eins nach oben verläuft, oder ein Quadrat, dessen Seite zwei nach rechts und eins nach oben verläuft – das sind zwei der in dieser Abbildung dargestellten Quadrate.
Wir zählen wie zuvor durch Schieben:
- 1 nach rechts und 1 nach oben: 3 x 3 = 9
- 2 nach rechts und 1 nach oben: 2 x 2 = 4
- 3 nach rechts und 1 nach oben: 1 x 1 = 1
- 2 nach links und 1 nach oben: 2 x 2 = 4
- 3 nach links und 1 nach oben: 1 x 1 = 1
- 2 nach rechts und 2 nach oben: 1 x 1 = 1
Die Summe beträgt also: 30 (von vorhin) + 9 + 4 + 1 + 4 + 1 = 49.
ERKUNDUNG
Sie können weitere Größen erkunden, indem Sie ein systematisches Zählsystem finden!