Ίσα Αθροίσματα – 2
Η ΠΡΟΚΛΗΣΗ
Ορίστε ένα διάγραμμα που δημιουργείται από την επικάλυψη τριών κύκλων. Οι επικαλυπτόμενοι κύκλοι δημιουργούν έξι περιοχές. Τοποθετήστε έναν αριθμό σε καθεμία από τις έξι περιοχές, χρησιμοποιώντας κάθε έναν από τους αριθμούς από το 1 έως το 6 ακριβώς μία φορά, έτσι ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε κύκλο να είναι το ίδιο.
ΕΡΕΥΝΑ
Πόσες διαφορετικές απαντήσεις μπορείτε να βρείτε; Πώς ξέρετε ότι τις βρήκατε όλες;
Σημειώσεις
Η ΠΡΟΚΛΗΣΗ & Η ΕΞΕΡΕΥΝΗΣΗ
Ακολουθούν οι τέσσερις λύσεις. Για να καταλάβετε γιατί αυτές είναι οι μόνες, έστω A, B και C οι τρεις περιοχές όπου τέμνονται δύο κύκλοι και έστω Sum το κοινό άθροισμα για τους τρεις κύκλους. Υπολογίστε το συνολικό άθροισμα με δύο τρόπους. Ως άθροισμα των τριών κύκλων, το άθροισμα είναι 3 x Sum. Ως άθροισμα και των έξι αριθμών συν A, B και C, το άθροισμα είναι 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + A + B + C. Τα δύο πράγματα είναι ίσα, επομένως αυτό μας δίνει 3 x Sum = 21 + A + B + C. Διαιρώντας με το 3, έχουμε Sum = 7 + (A + B + C)/3.
Για να είναι το Sum ακέραιος αριθμός σε αυτήν την τελευταία εξίσωση, το A + B + C πρέπει να διαιρείται ακριβώς με το 3. Αυτό επιτρέπει μόνο τέσσερις πιθανότητες για το A + B + C – είναι είτε 6, 9, 12 ή 15, και οι αντίστοιχες τιμές για το Sum είναι 9, 10, 11 ή 12.
Οι τέσσερις λύσεις που δίνονται εδώ έχουν αθροιστικές τιμές 9, 10, 11 και 12. Όπως θα δούμε, αυτές είναι όλες οι λύσεις!
Για να εξοικονομήσετε λίγη δουλειά, σημειώστε ότι αν πάρουμε μια λύση και αφαιρέσουμε όλες τις καταχωρήσεις από το 7, παίρνουμε μια άλλη λύση. Επίσης, σημειώστε ότι η νέα λύση θα έχει τιμή Sum που είναι 21 – (παλιό Sum). Επομένως, οι λύσεις για τις τιμές Sum 9 και 10 μας δίνουν τις λύσεις για τις τιμές Sum 11 και 12.
Αν A + B + C = 6, τότε τα A, B και C είναι 1, 2 και 3, και το άθροισμα = 9. Αυτή είναι η λύση πάνω αριστερά.
Αν A + B + C = 9, τότε το Sum = 10 και το (A, B, C) είναι (1, 2, 6), (1, 3, 5) ή (2, 3, 4). Αν το ελέγξετε, τα (1, 2, 6) και (2, 3, 4) είναι αδύνατα. Αυτό αφήνει την επάνω δεξιά λύση ως τη μόνη λύση Sum = 10.
Αν συγκρίνετε το «Ίσα Αθροίσματα – 2» με το «Μαγικά Τρίγωνα – 1», θα δείτε ότι πρόκειται για το ίδιο παζλ!