Αιγυπτιακά κλάσματα – 1
Πριν από περίπου 4000 χρόνια, οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ανέπτυξαν έναν ειδικό τρόπο γραφής των κλασμάτων. Μοναδιαία κλάσματα,
Τα κλάσματα που είναι κλάσματα με 1 στον αριθμητή, όπως τα ⅓ και ⅛, ήταν σημαντικά για αυτούς και είναι επίσης γνωστά ως Αιγυπτιακά Κλάσματα. Οι Αιγύπτιοι έγραφαν οποιαδήποτε κλασματική ποσότητα ως Αιγυπτιακό Κλασματικό Άθροισμα, το οποίο είναι ένα άθροισμα Αιγυπτιακών Κλασμάτων χωρίς διπλότυπα. Για παράδειγμα, για το ⅞ έγραφαν το Αιγυπτιακό Κλασματικό Άθροισμα ⅞ = ½ + ¼ + ⅛.
Η ΠΡΟΚΛΗΣΗ
Γράψτε το 1 ως αιγυπτιακό άθροισμα κλασμάτων χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν λιγότερα κλάσματα.
1 = 1/Α + 1/Β + …
ΕΡΕΥΝΑ
Πείστε τον εαυτό σας ότι δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε λιγότερα κλάσματα για να βρείτε 1. Γράψτε τα ⅔, 3/2, 2/7, 3/7 και 4/7 ως άθροισμα αιγυπτιακών κλασμάτων. Παίξτε με άλλους αριθμούς και αναζητήστε μοτίβα για τρόπους να χωρίσετε ένα κλάσμα σε αιγυπτιακά κλάσματα που θα σας βοηθήσουν να εργαστείτε μαζί τους.
Σημειώσεις
Η ΠΡΟΚΛΗΣΗ
Η απάντηση σε αυτό είναι αρκετά απλή: 1 = ½ + ⅓ + ⅙.
ΕΡΕΥΝΑ
Ο μόνος τρόπος για να χρησιμοποιήσουμε δύο κλάσματα θα ήταν ως 1 = ½ + ½, και αυτό δεν επιτρέπεται.
A Άπληστος αλγόριθμος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη δημιουργία αθροισμάτων αιγυπτιακών κλασμάτων. Σε κάθε βήμα, αυτός ο αλγόριθμος επιλέγει το κλάσμα μονάδας με τον μικρότερο δυνατό παρονομαστή (τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή για το κλάσμα). Χρησιμοποιώντας αυτήν την προσέγγιση, ⅔ = ½ + ⅙; 2/7 = ¼ + 1/28; 3/7 = ⅓ + 1/11 + 1/231; και 4/7 = ½ + 1/14. Ο αλγόριθμος Greedy μπορεί να οδηγήσει σε ορισμένους άσκοπα μεγάλους παρονομαστές, αλλά πάντα λειτουργεί. Για παράδειγμα, 3/7 = ⅓ + 1/11 + 1/231, αλλά μπορεί να γραφτεί πιο απλά ως 3/7 = ¼ + 1/7 + 1/28.
Ένας τρόπος για να κάνετε το 3/2 θα ήταν να ξεκινήσετε με 1 = ½ + ⅓ + ⅙, και να το συνδυάσετε με 1⁄2 = ¼ + ⅕ + 1/20. Κάνοντας αυτό, καταλήγουμε με 3/2 = 1 + ½ = (½ + ⅓ + ⅙) + (¼ + ⅕ + 1/20). Οι μαθητές σας μπορεί να βρουν άλλους ενδιαφέροντες τρόπους για να το κάνουν αυτό.
Αν πάτε στη Wikipedia, θα βρείτε πολλούς ενδιαφέροντες τύπους για αιγυπτιακά αθροίσματα κλασμάτων. Ένας χρήσιμος τύπος για το 1/n είναι 1/(n + 1) + 1/[n(n+1)]. Για παράδειγμα, ¼ = ⅕ + 1/20.