Εύρεση τετραγώνων – 1
Σε αυτό το πλέγμα, με κόκκινο χρώμα είναι δύο τετράγωνα 1 επί 1 και ένα τετράγωνο 2 επί 2 με οριζόντιες και κάθετες πλευρές.
Η ΠΡΟΚΛΗΣΗ
Βρείτε τον αριθμό των τετραγώνων όλων των μεγεθών με οριζόντιες και κάθετες πλευρές σε αυτό το πλέγμα.
ΕΡΕΥΝΑ
Παίξε με ακόμα μεγαλύτερα πλέγματα. Μπορείς να ανακαλύψεις έναν συστηματικό τρόπο να μετράς όλα τα τετράγωνα; Πώς αλλάζει η απάντησή σου, αν αλλάζει καθόλου, αν το πλέγμα των σημείων είναι ένα ορθογώνιο που δεν είναι τετράγωνο;
Σημειώσεις
Η ΠΡΟΚΛΗΣΗ
Τα πιθανά τετράγωνα έχουν μήκη πλευρών από 1 έως 4.
Για κάθε μέγεθος τετραγώνου, σκεφτείτε την επάνω αριστερή γωνία ως την αρχική θέση. Μπορείτε να δημιουργήσετε όλα τα τετράγωνα αυτού του μεγέθους στο πλέγμα μετακινώντας αυτό το αρχικό τετράγωνο. Έχετε την επιλογή να το μετακινήσετε προς τα δεξιά ή προς τα κάτω στον υπόλοιπο αριθμό θέσεων. Αυτές είναι ανεξάρτητες επιλογές, επομένως έχετε στο τετράγωνο αυτού του μεγέθους τετραγώνου.
Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι μετράτε τετράγωνα 1 επί 1 σε αυτό το πλέγμα 4 επί 4. Ένα τετράγωνο 1 επί 1 στην επάνω αριστερή γωνία μπορεί να μετατοπιστεί 1 ή 2 προς τα δεξιά και 1 ή 2 προς τα κάτω. Έτσι, υπάρχουν 3 πιθανές θέσεις οριζόντια (μετρώντας την αρχική θέση) και 3 πιθανές θέσεις κάθετα. Έτσι, υπάρχουν 3 x 3 από αυτά τα τετράγωνα 1 επί 1.
Για το αρχικό πρόβλημα πλέγματος 4 επί 4, αυτό δίνει την ακόλουθη μέτρηση:
- Τετράγωνα 1 επί 1: 3 x 3 = 9
- Τετράγωνα 2 επί 2: 2 x 2 = 4
- Τετράγωνα 3 επί 3: 1 x 1 = 1.
Υπάρχουν συνολικά 3 x 3 + 2 x 2 + 1 x 1 = 9 + 4 + 1 = 14 πιθανά τετράγωνα.
ΕΡΕΥΝΑ
Για οποιοδήποτε τετράγωνο πλέγμα, ο συνολικός αριθμός τετραγώνων θα είναι το άθροισμα των αριθμών των τετραγώνων που είναι μικρότεροι από το μέγεθος του πλέγματος. Για παράδειγμα, ένα πλέγμα 7 επί 7 θα έχει 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91 τετράγωνα.
Τα ορθογώνια πλέγματα είναι σχεδόν εξίσου εύκολα στην καταμέτρηση. Η μικρότερη από τις δύο διαστάσεις του ορθογωνίου θα περιορίσει το μέγιστο μέγεθος των πιθανών τετραγώνων. Μετρήστε τα με παρόμοιο τρόπο όπως στην περίπτωση του τετραγωνικού πλέγματος. Αντί να κάνουμε τη γενική περίπτωση, ας δούμε ένα ενδεικτικό παράδειγμα.
Ας υποθέσουμε ότι μετράτε τα τετράγωνα σε ένα πλέγμα 5 επί 7. Επειδή υπάρχουν μόνο 5 σειρές, κανένα τετράγωνο δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από 4 επί 4.
- Τετράγωνα 1 επί 1: 4 x 6 = 24
- Τετράγωνα 2 επί 2: 3 x 5 = 15
- Τετράγωνα 3 επί 3: 2 x 4 = 8
- Τετράγωνα 4 επί 4: 1 x 3 = 3
Ο συνολικός αριθμός τετραγώνων είναι 24 + 15 + 8 + 3 = 50.