Encontrar cuadrados – 1
En esta cuadrícula se muestran en rojo dos cuadrados de 1x1 y un cuadrado de 2x2 con lados horizontales y verticales.
EL RETO
Encuentra el número de cuadrados de todos los tamaños con lados horizontales y verticales en esta cuadrícula.
EXPLORACIÓN
Experimenta con cuadrículas aún más grandes. ¿Puedes descubrir una forma sistemática de contar todos los cuadrados? ¿Cómo cambia tu respuesta, si es que cambia, si la cuadrícula de puntos es un rectángulo que no es un cuadrado?
Notas
EL RETO
Los cuadrados posibles tienen longitudes de lado de 1 a 4.
Para cada tamaño de cuadrado, piensa en la esquina superior izquierda como la posición inicial. Puedes producir todos los cuadrados de este tamaño en la cuadrícula moviendo este cuadrado inicial. Tienes la opción de moverlo hacia la derecha o hacia abajo el número restante de posiciones. Estas son opciones independientes, por lo que obtienes cuadrado de ese tamaño cuadrado.
Por ejemplo, supongamos que contamos cuadrados de 1x1 en esta cuadrícula de 4x4. Un cuadrado de 1x1 en la esquina superior izquierda se puede desplazar 1 o 2 casillas a la derecha y 1 o 2 casillas hacia abajo. Por lo tanto, hay 3 posiciones posibles horizontalmente (contando la posición original) y 3 posiciones posibles verticalmente. Así, hay 3 x 3 de estos cuadrados de 1x1.
Para el problema original de la cuadrícula de 4 por 4, esto da como resultado el siguiente conteo:
- Cuadrados de 1 por 1: 3 x 3 = 9
- Cuadrados de 2 por 2: 2 x 2 = 4
- Cuadrados de 3 por 3: 1 x 1 = 1.
Hay un total de 3 x 3 + 2 x 2 + 1 x 1 = 9 + 4 + 1 = 14 cuadrados posibles.
EXPLORACIÓN
En cualquier cuadrícula cuadrada, el número total de cuadrados será la suma de los cuadrados cuyo tamaño sea menor que el de la cuadrícula. Por ejemplo, una cuadrícula de 7x7 tendrá 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91 cuadrados.
Contar cuadrículas rectangulares es casi igual de sencillo. La menor de las dos dimensiones del rectángulo limitará el tamaño máximo de los cuadrados posibles. Cuéntalos de forma similar a como se hace con las cuadrículas cuadradas. En lugar de ver el caso general, veamos un ejemplo ilustrativo.
Supongamos que estás contando los cuadrados en una cuadrícula de 5 por 7. Como solo hay 5 filas, ningún cuadrado puede ser mayor que 4 por 4.
- Cuadrados de 1 por 1: 4 x 6 = 24
- Cuadrados de 2 por 2: 3 x 5 = 15
- Cuadrados de 3 por 3: 2 x 4 = 8
- Cuadrados de 4 por 4: 1 x 3 = 3
El número total de cuadrados es 24 + 15 + 8 + 3 = 50.