Saludos de mano en una fiesta – 1
En una fiesta había diez personas. Se dieron muchas manos. Cuando se les preguntó cuántas manos había estrechado cada persona, las respuestas fueron: 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6 y 8. Cuando se anunció esto al grupo, una persona gritó: "¡Eso es imposible!".
EL RETO
¿Tenía razón esa persona? ¿Alguien se equivocó al contar el apretón de manos? ¿Cómo lo sabes?
EXPLORACIÓN
Analiza más a fondo el número de apretones de manos y elabora una breve lista de recuentos posibles.
y algunas que son imposibles.
Notas
EL RETO
Una característica interesante de los apretones de manos es que son recíprocos: si te estrecho la mano, tú también me estás estrechando la mía. Este tipo de propiedad puede darse en otros contextos, como en las amistades recíprocas.
Debido a esta propiedad de los apretones de manos, si se suman los apretones de manos de todas las personas involucradas en un evento, cada apretón de manos se contará dos veces, una por cada lado. Por lo tanto, el resultado debería ser un número par al sumar todos los apretones de manos. Si sumamos 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6 y 8, el total es 47, que es un número impar. ¡Así que debe haber habido un error!
EXPLORACIÓN
De lo que se acaba de comentar, si se va a poder recopilar datos, la suma de los recuentos debe ser par. Otro requisito obvio es que cada recuento individual debe ser menor que el número total de personas (nadie se da la mano a sí mismo).
Sin embargo, esas dos condiciones no son suficientes. Por ejemplo, consideremos la secuencia 4, 4, 4, 4, 2. De estas cinco personas, cuatro han estrechado la mano de todos los demás, por lo que no es posible que la última persona solo haya dado dos apretones de manos. De manera similar, si bien 4, 4, 4, 3, 3 podría ocurrir, 4, 4, 4, 2, 2 no.
En “Apretones de manos en una fiesta – 2” veremos que la lista de apretones de manos 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 es imposible, a pesar de tener una suma par.
Esto deja mucho margen para que el estudiante interesado explore más a fondo.