Paridad – 3 – Último número en pie
En una pizarra se escriben los números del 1 al 5. A continuación, se seleccionan pares de números, se borran y se reemplazan por su diferencia. Este proceso continúa hasta que solo queda un número. En el ejemplo siguiente, ese número es el 1.
1 2 3 4 5 => 1 2 4 2
1 2 4 2 => 2 2 3
2 2 3 => 2 1
2 1 => 1
EL RETO
¿Qué tan pequeño puede ser ese único número? ¿Puede ser 0? ¿Cambia tu respuesta si los números van del 1 al 6, o del 1 al 7?
1 2 3 4 5 => ?
EXPLORACIÓN
Para una lista dada de números, como del 1 al 5, ¿cuáles son los últimos números posibles? ¿Cuál es el
¿Cuál es el último número posible, el más pequeño y el más grande? ¿Cuándo puede aparecer el 0 o el número más alto en la lista de posibilidades?
Notas
EL RETO
Esto es bastante similar al acertijo que pregunta qué números son posibles al tomar los números del 1 al 5 y colocar signos de suma o resta entre cada par de números; por ejemplo, 1 + 2 + 3 – 4 + 5 o 1 + 2 – 3 + 4 + 5. La ventaja de usar esta forma del acertijo es que no habrá números negativos involucrados.
Para empezar, algunas aclaraciones sencillas. Todas las diferencias son no negativas, por lo que la respuesta final nunca puede ser menor que 0. Los números que se obtienen a partir de diferencias se forman con los números originales o a partir de números derivados de estos. Por lo tanto, el número máximo que se puede usar para una diferencia es el mayor, que es 5. Queremos saber cuáles de los números del 0 al 5 son posibles respuestas finales.
Consideremos esto como un problema de números pares e impares. Comencemos contando la cantidad de números impares. En el caso de ir del 1 al 5, esa cantidad es 3, que a su vez es un número impar. Por lo tanto, tenemos una cantidad impar de números impares. Hagamos una lista de lo que sucede cuando calculamos una diferencia: 1) Si ambos números son pares, el resultado es un número par y no hay cambios en la cantidad total de números impares; 2) si un número es impar y el otro es par, el resultado es un número impar y no hay cambios en la cantidad total de números impares; y 3) si ambos números son impares, entonces el resultado es un número par y la cantidad total de números impares se reduce en dos. En todos los casos, la cantidad total de números impares permanece igual o se reduce en dos.
Resultado: Si comenzamos con una cantidad impar de números impares, terminaremos con una cantidad impar (1) de ellos. Si comenzamos con una cantidad par de números impares, terminaremos con una cantidad par (0) de ellos.
En el caso de ir del 1 al 5, comenzamos con una cantidad impar de números impares, por lo que la respuesta final debe ser impar. La respuesta final debe ser 1, 3 o 5. Unos experimentos rápidos demuestran que todas son posibles.
El análisis es exactamente el mismo para los números del 1 al 6 porque todavía hay tres números impares.
Para el rango del 1 al 7, ahora hay una cantidad par de números impares, por lo que no habrá números impares al final y los posibles últimos números son 0, 2, 4 o 6 (todos los cuales pueden ocurrir).
EXPLORACIÓN
Es fácil ver cuándo es posible obtener 0. Empieza por emparejar números consecutivos desde arriba y calcular sus diferencias. Esto da como resultado una colección de 1. Si hay un número par de 1, puedes obtener un 0, y si hay un número impar, puedes obtener un 1. Como era de esperar, esto es lo mismo que averiguar si comenzaste con un número par o impar de números impares. Tomemos del 1 al 7 como ejemplo: (7 6) (5 4) (3 2) 1 => 1 1 1 1 => (1 1) (1 1) => 0 0 => 0.
Puedes hacer lo mismo para ver si el número de arriba es posible. Empareja números consecutivos comenzando por el de arriba, omitiendo el de arriba. Calcula la diferencia entre estos pares. Ahora tienes una lista de 1s junto con el número de arriba. Reduce la lista de 1s a un solo 0 o un solo 1. Calcula la diferencia entre ese resultado y el número de arriba.