Rectángulos perfectos – 1
Un rectángulo que se puede rellenar con cuadrados, sin que dos de ellos tengan la misma longitud de lado, se llama rectángulo perfecto. Aquí hay un ejemplo de un rectángulo perfecto de 47 x 65 lleno con 10 cuadrados de diferentes longitudes de lado.
EL RETO
Calcula la longitud de los lados de los cuadrados en este rectángulo perfecto de 33 por 32, que contiene 9 cuadrados.
Notas
EL RETO
Sus alumnos pueden medir el diagrama con precisión para calcular las longitudes de los lados, pero esperamos que disfruten del reto de resolver el problema.
Un buen punto de partida son los seis cuadrados de la esquina inferior izquierda.
Sea n la longitud del lado del cuadrado más pequeño, y x la longitud del lado del cuadrado que se encuentra en el centro de la fila inferior (llamémoslo MB para abreviar).
Los cuadrados que rodean al cuadrado más pequeño aumentan su longitud de lado en n a medida que lo rodean. El cuadrado que está encima de MB tiene una longitud de lado de x – n, y el cuadrado en la esquina inferior izquierda tiene una longitud de lado de x + n. Además, el cuadrado en la esquina inferior derecha tiene la suma de las longitudes de lado de MB y del cuadrado que está encima de MB, por lo que sus longitudes de lado son x + (x – n) = 2x – n. Las longitudes de lado de los cuadrados en la fila inferior de este diagrama suman 32, por lo que 32 = (x + n) + x + (2x – n) = 4x, lo que significa que x = 8.
La pila en la parte inferior izquierda tiene una altura de (x + n) + (x + 2n) = 2x + 3n. La pila de tres cuadrados en la parte inferior central tiene una altura de x + (x – n) + cuadrado central = 2x – n + cuadrado central. Como 2x + 3n = 2x – n + cuadrado central, el cuadrado central tiene un lado de 4n. Si n es 2, tendríamos dos cuadrados de lado 8. Si n es 3 o mayor, ese cuadrado central sería demasiado grande. Por lo tanto, n = 1.
Con x = 8 y n = 1, y sabiendo que el tamaño del rectángulo es de 33 por 32, rellenar el resto de los cuadrados es automático.
