Fractions égyptiennes – 2
Il y a environ 4 000 ans, les anciens Égyptiens ont développé une méthode particulière pour écrire les fractions. Les fractions unitaires , c’est-à-dire les fractions dont le numérateur est 1, comme ⅓ et ⅛, étaient importantes pour eux et sont également connues sous le nom de fractions égyptiennes . Les Égyptiens écrivaient toute quantité fractionnaire sous la forme d’une somme de fractions égyptiennes, c’est-à-dire une somme de fractions égyptiennes sans doublons. Par exemple, pour ⅞, ils écrivaient la somme de fractions égyptiennes ⅞ = ½ + ¼ + ⅛.
LE DÉFI
Écrivez 39/50 sous forme de somme de fractions égyptiennes en utilisant le moins de fractions possible.
39/50 = 1/A + 1/B + …
EXPLORATION
Votre réponse est-elle la meilleure possible ? Si oui, pour quelles raisons ?
Remarques
LE DÉFI
Vous pouvez réduire progressivement ce nombre en soustrayant la plus grande fraction égyptienne possible et en observant le résultat. Cette méthode fonctionne avec toutes les fractions, mais elle ne permet pas toujours d'obtenir le nombre minimal de fractions égyptiennes.
Premièrement, 39/50 > ½, donc 39/50 = ½ + 14/50 = ½ + 7/25.
7/25 > ¼, donc soustrayez ¼ ensuite. 39/50 = ½ + ¼ + 3/100.
Finalement, 3/100 = 2/100 + 1/100 = 1/50 + 1/100.
En résumé, 39/50 = ½ + ¼ + 1/50 + 1/100.
EXPLORATION
Je ne connais pas de méthode rapide pour analyser s'il est possible d'obtenir moins de fractions.
Imaginons qu'il soit possible d'utiliser trois fractions. La fraction ayant la plus grande valeur doit être au moins égale à ⅓. Sinon, la plus grande valeur possible de la somme des trois fractions serait ¼ + ⅕ + ⅙, ce qui est insuffisant.
- La plus grande fraction est ½ : la valeur restante est 39/50 – ½ = 7/25. La plus grande des deux fractions restantes doit être au moins égale à 1/7. Cela conduit à quatre possibilités : ½ + ¼, ½ + ⅕, ½ + ⅙ et ½ + 1/7.
- La plus grande fraction est ⅓. La valeur restante est 39/50 – ⅓ = 67/150. La plus grande des deux fractions restantes doit être au moins égale à ⅕. Il y a donc deux possibilités : ⅓ + ¼ et ⅓ + ⅕.
Ce n'est pas très élégant. Cependant, il n'y a pas tant de combinaisons à vérifier pour s'assurer que trois fractions ne fonctionnent pas.