Sommes égales – 1
LE DÉFI
Voici un diagramme formé par la superposition de trois cercles. Ces cercles superposés créent cinq régions. Inscrivez un nombre dans chacune des cinq régions, en utilisant chaque nombre de 1 à 5 une seule fois, de sorte que la somme des nombres dans chaque cercle soit identique.
EXPLORATION
Combien de réponses différentes pouvez-vous trouver ? Comment savoir si vous les avez toutes trouvées ?
Remarques
LE DÉFI ET L'EXPLORATION
Il y a deux solutions. En allant de gauche à droite, la somme dans chaque cercle est de 6 et 7.
Analysez les possibilités en désignant par A et B les deux nombres situés à l'intersection des cercles. Soit Somme la somme commune à l'intérieur de chaque cercle. Alors 3 × Somme = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + A + B = 15 + A + B.
Le membre de gauche de l'équation 3 × Somme = 15 + A + B est un multiple de 3, donc le membre de droite l'est aussi. Cela implique que A + B est un multiple de trois. Il ne reste donc que trois possibilités.
- A + B = 3. Dans ce cas, 3 x Somme = 15 + 3 = 18 nous indique que Somme = 6, et A et B sont 1 et 2.
- A + B = 6. Dans ce cas, 3 x Somme = 15 + 6 = 21 nous indique que Somme = 7. A + B = 6 implique que A et B sont soit égaux à 1 et 5, soit à 2 et 4. Comme A et B peuvent être égaux à 1 et 5, cela ne fonctionne pas (1 est répété), il ne reste donc que 2 et 4.
- A + B = 9. Dans ce cas, 3 × Somme = 15 + 9 = 24 nous indique que Somme = 8, et A et B valent respectivement 4 et 5. Cependant, comme A et B sont tous deux dans le cercle central, il est impossible que A + B = 9 et que la somme soit seulement 8. Ce cas est donc impossible.