Avril 2026

Actualités

EFM fête ses 5 ans!

Cinq années formidables se sont écoulées depuis la création du premier site web et de la première newsletter d'Early Family Math. Nous avons le soutien d'une équipe formidable (rejoignez-nous !) et nous avons créé un site web, deux applications mobiles et une très vaste collection de ressources dans plus d'une douzaine de langues. À tous nos soutiens, collègues et donateurs : merci ! Nous n'aurions rien pu faire sans vous !

Nouveau site web – Nous sommes ravis d'annoncer que, d'ici une semaine environ, www.EarlyFamilyMath.org redirigera vers un site web EFM entièrement repensé. Il propose de nombreuses nouvelles fonctionnalités, dont voici quelques exemples :

* 104 langues du monde prises en charge par la traduction automatique

* En plus de nos PDF traditionnels avec des traductions humaines dans une douzaine de langues, nous offrons désormais la possibilité de jouer avec ce matériel (comme nos puzzles ou nos jeux) directement sur notre site Web dans 104 langues traduites automatiquement.

* Nouveaux personnages et illustrations

Application Early School Math – L’application mobile Early School Math (ESM) rejoint désormais l’application mobile Early Family Math (EFM) dans les deux boutiques d’applications.

ESM – Google Play Store

ESM – Apple

EFM – Google Play Store

EFM – Apple

Mathématiques et représentation politique

Avec toutes les controverses qui entourent le vote ces derniers temps, il semble opportun de parler des aspects mathématiques du vote et de la manière dont on peut les aborder avec les enfants.

L'utilisation exclusive de nombres entiers peut engendrer des problèmes complexes. Par exemple, si une recette demande 3 œufs, comment procéder pour préparer une demi-portion et que faire des ingrédients restants ?

La représentation politique est un domaine particulièrement complexe à cet égard. Imaginons que les statistiques démographiques indiquent que votre État mérite d'avoir 14 représentants et deux tiers à la Chambre des représentants. Utiliser ce résultat précis risque de poser problème à certains. Il est regrettable qu'aucun représentant ne puisse obtenir 14 voix et deux tiers, mais le système ne fonctionne pas ainsi.

Ce bulletin d'information examine trois aspects de la représentation politique dont les solutions sont souvent étonnamment complexes et intéressantes.

Création de circonscriptions électorales – Découpage électoral

Bien que ce soit un sujet ancien, le découpage électoral partisan a fait couler beaucoup d'encre ces derniers mois. Il s'agit de la manipulation des circonscriptions électorales visant à obtenir un avantage indu pour un parti ou une cause lors d'une élection. La question fondamentale est difficile à définir : qu'entend-on par « avantage indu » ?

Une fois qu'une circonscription électorale, comme un État, a déterminé le nombre de ses représentants, elle doit diviser son territoire en autant de régions. De nombreux critères entrent en ligne de compte, et il n'existe pas de méthode simple pour les prendre tous en considération simultanément. La tâche est si complexe que je préfère ne pas l'aborder ici.

Nous allons plutôt examiner comment les choses peuvent être intentionnellement manipulées pour créer une injustice. Mes amis du Julia Robinson Mathematics Festival (JRMF) ( https://jrmf.org/ ) ont créé des jeux de découpage électoral pour enfants ( https://jrmf.org/puzzle/gerrymandering/ ) . Ces jeux sont faciles à comprendre pour un enfant, très amusants et illustrent simplement comment le découpage des circonscriptions électorales peut être manipulé pour favoriser un camp ou l'autre.

Imaginez que la grille ci-dessus représente la répartition géographique des électeurs d'un district à diviser en cinq parties égales, chacune composée de cinq carrés (chaque carré représentant un électeur). Supposons également que les carrés bleus représentent les électeurs souhaitant voter d'une certaine manière et les carrés rouges, ceux souhaitant voter de la manière opposée.

* De quelles manières peut-on répartir cela pour aider l'un ou l'autre camp ?

En utilisant différentes configurations de districts, déterminez le nombre maximal et minimal de districts que le rouge peut contrôler. Pourquoi le rouge doit-il dominer au moins quelques-uns des districts que vous créez ?

Dans tous ces casse-têtes de découpage électoral du JRMF, il y a deux règles.

* Les districts doivent être de taille égale (avoir le même nombre de petits carrés).

* Chaque quartier est connecté – il doit être possible de se déplacer entre deux cases quelconques d'un quartier en parcourant une série de cases du quartier dont chaque paire partage un côté.

En utilisant des circonscriptions de tailles, de formes et de couleurs différentes, lancez-vous le défi de créer des districts électoraux permettant d'obtenir des résultats surprenants. JRMF propose de nombreux exemples intéressants.

Si vous voulez vous lancer dans un projet ambitieux, créez une juridiction avec deux éléments à équilibrer simultanément. Imaginez maintenant ce que cela représente lorsqu'il faut gérer une douzaine d'éléments de manière équitable, quel que soit le sens donné à « équitable ».

Non seulement cela permet à votre enfant de comprendre le fonctionnement du découpage électoral, mais c'est aussi un excellent exercice pour multiplier, diviser et répartir un groupe entier en parts égales.

Chambre des députés

On pourrait croire qu'il est facile d'attribuer à chaque État le nombre de représentants à la Chambre des représentants des États-Unis. Une fois fixé (de manière quelque peu arbitraire) le nombre total de représentants (à 435 depuis 1929), il suffit de calculer la proportion de la population totale que représente chaque État et de lui attribuer cette proportion. Où est le problème ?

Supposons qu'il y ait 100 représentants, quatre États (A, B, C et D), et que chaque État reçoive la part suivante du total (1/5, 1/4, 3/10 et 1/4). Dans ce cas, A recevrait 20, B 25, C 30 et D 25. C'est assez simple.

Ah, si seulement c'était aussi simple ! Nous en revenons au problème de l'obligation d'utiliser uniquement des nombres entiers. Vous serez peut-être surpris d'apprendre que ce problème est suffisamment complexe pour qu'il existe quatre méthodes différentes depuis le premier système créé par Jefferson, utilisé de 1790 à 1830.

Reprenons l'exemple de 100 représentants pour les États A, B, C et D. Supposons cette fois qu'ils reçoivent respectivement 1/3, 1/6, 2/7 et 3/14. Avec des représentants fractionnaires, ils auraient 33 1/3, 16 2/3, 28 4/7 et 21 3/7 représentants. La première étape consiste à attribuer à chaque État son nombre entier de représentants : A – 33, B – 16, C – 28 et D – 21. La question cruciale qui a alimenté les débats pendant 150 ans est celle du sort des deux représentants restants.

Avant de poursuivre votre lecture, discutez avec votre enfant de la manière dont vous aborderiez ce problème.

La méthode Hamilton, la plus répandue, préconise d'attribuer les représentants restants aux États ayant les plus grandes fractions de sièges. Selon cette méthode, l'État B passerait de 16 à 17 sièges, et l'État C de 28 à 29. La méthode Hamilton a été utilisée de 1850 à 1890. La découverte du « paradoxe de l'Alabama », survenu lors de l'augmentation du nombre total de sièges à la Chambre des représentants, a rapidement conduit à l'abandon de la méthode Hamilton.

Un exemple assez simple des problèmes pouvant survenir avec la méthode de Hamilton est illustré par ces exemples tirés des séries d'exercices de la Phillips Exeter Academy. On considère trois États, A, B et C. Pour chaque scénario, calculez le nombre de représentants que chaque État obtiendrait en utilisant la méthode de Hamilton. Une fois vos calculs terminés, comparez les résultats et repérez les situations qui semblent étranges ou inéquitables.

Scénario 1 : 100 représentants au total. Populations de A : 453 ; B : 442 ; C : 105 – total : 1000

Scénario 2 : 101 représentants au total. Populations de A : 453 ; B : 442 ; C : 105 – total : 1000

Scénario 3 : 100 représentants au total. Populations de A : 647 ; B : 247 ; C : 106 – total : 1000

Scénario 4 : 100 représentants au total. Populations de A : 650 ; B : 255 ; C : 105 – total : 1010

D'autres systèmes de répartition des sièges à la Chambre des représentants furent créés par Jefferson, Adams et Webster. Celui de Jefferson fut initialement utilisé en 1790. Ce sujet étant trop long pour cette lettre d'information, je laisse aux lecteurs plus curieux le soin de se renseigner sur ces systèmes et d'autres encore.

Équations diophantiennes

Les Grecs anciens pensaient initialement que tous les nombres pouvaient être exprimés sous forme de fractions à l'aide de nombres entiers. De ce fait, ils s'intéressaient tout naturellement aux réponses entières aux questions mathématiques. À première vue, on pourrait croire que cette vision restrictive les aurait conduits à des mathématiques peu stimulantes. Pourtant, comme nous l'avons vu, cette restriction engendre des défis passionnants. Le Grec ancien Diophante est si célèbre pour ses travaux sur ces questions qu'une branche entière des mathématiques porte son nom.

Parmi les exemples classiques d'équations diophantiennes, on peut citer l'exploration des solutions entières d'équations telles que ax + by = c et a^2 + b^2 = c^2, et l'étude des cas où l'on peut écrire un entier comme la somme de deux carrés.

Systèmes de vote

S'il y a 99 votants et deux candidats, A et B, le vote est assez simple : celui qui obtient 50 voix ou plus l'emporte. La situation se complique en cas d'égalité entre les candidats, avec un nombre pair de votants. Même avec 99 personnes, un problème se pose : si 50 personnes préfèrent à peine A à B, et que 49 personnes estiment que choisir A est une erreur impardonnable, A devrait-il gagner ? Au lieu de voter pour A ou B, ne devrait-on pas pouvoir attribuer une préférence fractionnaire à chaque candidat ?

La situation se complique s'il y a trois candidats ou plus. Il existe de nombreuses façons de gérer ce genre de situation, et il peut être amusant de les explorer avec les enfants. Explorez des scénarios où l'élection ne se déroule pas comme vous le souhaiteriez. Imaginez par exemple que 20 personnes votent pour 4 candidats : A, B, C et D.

Option 1 : Si aucun candidat n’obtient la majorité absolue des voix, un second tour est organisé entre les deux candidats arrivés en tête. Supposons que A et B obtiennent chacun 6 voix, et C et D chacun 4 voix. Cela pourrait avoir des conséquences fâcheuses si, par exemple, tous les électeurs ayant voté pour D auraient voté pour C si D n’avait pas été candidat. Cette exigence peut engendrer des coûts importants pour un second tour auquel participe généralement beaucoup moins d’électeurs.

Option 2 : Le candidat qui obtient le plus de voix est élu. Supposons que A obtienne 6 voix, B et C 5 voix chacun, et D 4 voix. A était-il vraiment un choix si populaire ? En 2024, un candidat au Congrès a remporté une primaire en Arizona avec un peu moins d’un quart des voix.

Option 3 : Le vote préférentiel (ou vote alternatif). Ce système est utilisé en Alaska, dans le Maine et dans plusieurs autres juridictions. Dans ce système, chaque électeur classe tous les candidats par ordre de préférence. Si un candidat obtient la majorité des voix de premier choix, il est élu. Sinon, le candidat ayant obtenu le moins de voix de premier choix est éliminé (comme s’il n’avait jamais participé à l’élection), et tous les électeurs ayant voté pour ce candidat en premier choix sont considérés comme ayant voté pour son second choix. Ce processus se poursuit jusqu’à ce qu’un candidat soit élu. Le principal inconvénient de ce système est qu’il est plus complexe à comprendre et à utiliser pour les électeurs, qui doivent classer tous les candidats.

Les deux premières options présentent le risque que les candidats de partis tiers ne se présentent pas, car ils pourraient nuire à l'un des deux candidats principaux. Lors de l'élection présidentielle de 2000, on considère généralement que la candidature de Ralph Nader comme candidat d'un parti tiers a changé l'issue du scrutin ; bien sûr, envisager des scénarios alternatifs et analyser les hypothèses est toujours délicat.

Emballer

J'espère que vous prendrez plaisir à explorer ces thèmes liés au vote avec votre enfant. Je sais que ces exemples couvrent un large éventail de compétences mathématiques ; j'espère que votre enfant appréciera de découvrir celles qui lui conviennent le mieux.

Vivement les cinq prochaines années d'amélioration de l'enseignement des mathématiques dès le plus jeune âge ! Ce fut une expérience extrêmement enrichissante !