Xoaniñas que non cadran – 2
As xoaniñas numeradas pousanse en dúas follas. A regra é: o número de puntos de dúas xoaniñas nunha folla non pode sumar o número de puntos doutra xoaniña nesa folla. A folla da esquerda está ben, pero a folla da dereita ten 2 + 4 = 6.
O RETO
Comezando polo 1 e contando cara arriba, ata onde podes chegar colocando as xoaniñas numeradas en tres follas seguindo a regra para cada unha das follas?
EXPLORACIÓN
Como cambian as cousas se usas só números pares? Como cambian as cousas se usas só números impares? Que ocorre se usas máis de tres follas?
Notas
O RETO E A EXPLORACIÓN
Tres follas é moito máis complicado de xestionar dun xeito organizado que dúas follas.
Aínda que este problema ten moitas complexidades, hai dúas maneiras sinxelas de colocar números nunha folla que son sorprendentemente potentes: 1) colocar as potencias de 2 na folla (1 2 4 8 16...) e 2) comezando cun número, colocar todos os números consecutivos ata o dobre dese número (5 6 7 8 9 10).
Tamén podemos escoller a mellor resposta para dúas follas, (1 2 4 8) – (3 5 6 7), e despois poñer os seguintes números na terceira folla: (1 2 4 8) – (3 5 6 7) – (9 10 11 12 13 14 15 16 17 18). Despois dese bo comezo, podemos poñer uns cantos números máis nas dúas primeiras follas: (1 2 4 8 22) – (3 5 6 7 19 20 21) – (9 10 11 12 13 14 15 16 17 18).
Esa resposta, que chega ata 22, está sorprendentemente preto da mellor resposta. Para saber con certeza cal é a mellor resposta posible, tes que escribir un programa informático ou consultar a literatura matemática sobre "conxuntos libres de suma" ou "particións libres de suma". Na literatura atoparás a seguinte resposta a 23, que só ten un par de cambios (movendo o 11 e o 16) con respecto á resposta anterior: (1 2 4 8 11 16 22) (3 5 6 7 19 21 23) (9 10 12 13 14 15 17 18 20).
A mellor resposta para catro follas vai ata 66 e é: (1 2 4 8 11 16 22 25 40 43 53 66) (3 5 6 7 19 21 23 34 35 50 51 52 63 64 65) (9 10 12 13 14 15 17 18 20 54 55 56 57 58 59 60 61 62) (24 26 27 28 29 30 31 32 33 36 37 38 39 41 42 44 45 46 47 48 49). Podes achegarte sorprendentemente a esta resposta empregando a mesma estratexia que empregamos para obter unha primeira resposta para tres follas.
A mellor resposta para cinco follas chega ata 196. É un problema sen resolver, cal é a mellor resposta para seis follas! Quizais algún dos teus alumnos se divirta xogando con isto e dea cunha boa resposta!
Traballar con números pares é simplemente cuestión de duplicar todo o anterior. A mellor resposta para números pares será o dobre da mellor resposta para números normais.
Os números impares pódense poñer nunha soa folla, polo que ter tres follas non supón moita diferenza para eles.