Čarobni kvadrati – 4
U Čarobni trg, svi retci, stupci i dijagonale zbrajaju se u isti broj. Ovaj prvi kvadrat je ne Čarobni kvadrat. Drugi je Čarobni kvadrat s konstantnim zbrojem 12.
IZAZOV
Popunite ova dva magična kvadrata koristeći ova dva skupa brojeva: 1) {6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14} i {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}.
ISTRAŽIVANJE
Pogledajte sve Čarobne kvadrate koje ste vidjeli, a koji nemaju duplicirane unose. Napravite tablicu svojih rezultata i potražite uzorke. Kad biste dobili bilo koji drugi niz brojeva koji su ravnomjerno raspoređeni, kao što je {4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44}, biste li mogli odmah popuniti Čarobni kvadrat?
Bilješke
IZAZOV I ISTRAŽIVANJE
Započnite s rješenjem standardne verzije ove zagonetke od 1 do 9.
Za izradu magičnog kvadrata od 6 do 14, jednostavno dodajte 5 svim tim unosima. Za izradu magičnog kvadrata za {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27}, jednostavno utrostručite sve unose izvornog rješenja.
Pogledajmo zašto to funkcionira. Pretpostavimo da imamo a + b + c = S, gdje je S zbroj korišten za sve retke, stupce i dijagonale. U izvornoj zagonetki 1 – 9, S je bilo 15.
Ako svim unosima dodamo 5, (a + 5) + (b + 5) + (c + 5) = (a + b + c) + 15 = S + 15. Unosi u novoj slagalici zbrajaju se do zbroja koji je 15 veći od izvornog, tako da se i dalje zbrajaju do istog (novog) broja.
Ako pomnožimo s 3, tada je (3a) + (3b) + (3c) = 3(a + b + c) = 3S. Zbroj unosa u novoj slagalici daje tri puta veći zbroj od izvornika.
Ako napravimo bilo koju kombinaciju množenja i zbrajanja, i dalje funkcionira. Pretpostavimo da množimo s m, a zatim dodamo n. Dobivamo (ma + n) + (mb + n) + (mc + n) = (ma + mb + mc) + (n + n + n) = m (a + b + c) + 3n = mS + 3n. Dakle, bez obzira na to koliko su m i n, svi novi unosi na kraju daju isti zbroj!
Naravno, vaši učenici nisu spremni za ovu algebru, ali prolazeći kroz ove primjere vidjet će obrasce kako ovo funkcionira.