Téglalapok elkerülése – 2
Egy rács X-ei vízszintes és függőleges oldalú téglalapok sarkaiként szolgálhatnak. Az első rács X-ei két téglalapot alkotnak. A cél azonban a téglalapok létrehozásának elkerülése. A második rács X-ei úgy vannak elhelyezve, hogy ne alakuljanak ki téglalapok.
A KIHÍVÁS
Helyezz el annyi X-et, amennyit csak tudsz ebbe a 4x4-es rácsba, és kerüld a téglalapok létrehozását.
FELFEDEZÉS
Mi a maximum, amit más méretű rácsoknál kaphatsz? Látsz bármilyen mintázatot a válaszaidban?
Megjegyzések
A KIHÍVÁS
Ennek a megoldása általánosságban egy nagyon nehéz, megoldatlan matematikai probléma. Ez azonban nem szabad, hogy eltántorítsa a diákot attól, hogy játsszon vele, és közben sok érdekes dolgot tanuljon.
Tegyük fel, hogy a rács m sorból és n oszlopból áll. A Téglalapok elkerülése – 1. feladatban a következő eredményeket kaptuk a legjobb válaszokra.
1. és 2. sor: m + n – 1 X-ünk volt
3 sor: m + n X-ünk volt egy 3 x 3-as rácshoz használt kiinduló diagram alapján, amely a következő diagramhoz hasonlóan nézett ki. Ezzel a diagrammal, ha 3 sorunk lenne több oszloppal, akkor minden új oszlopba csak egyetlen X-et adhatunk hozzá.
A 3x3-as eset más kinézetet igényelt, mint az 1 és 2 soros stratégia, és csábító azt gondolni, hogy a 4 vagy több soros példák is új gondolkodást igényelnek. A nyilvánvaló kimondásához olyan oszlopgyűjteményt szeretnénk létrehozni, amely soha nem oszt meg X-szel jelölt sorpárt.
Az egyik stratégia az, hogy a bal szélső oszlopban mindent kitöltünk, kivéve az alsó négyzetet, majd a többi oszlopban egy X van az alsó sorban és egy másik sorban. Ez mindig működik, és (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) X-et eredményez egy m x m négyzetrács esetén. A négyzet kitöltésére szolgáló módszer ezután kiterjeszthető (minden új oszlopba egyetlen X hozzáadásával) bármire, ami m soros, így 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 X-et kapunk, amikor m < n. Ez a képlet eddig minden válaszra működik bármilyen méretű rácsra (egynél több sorral).
FELFEDEZÉS
Az online legjobb válaszok keresése azt mutatja, hogy az 5x5-ös esethez 12 X-et kell rajzolni (amit a minta segítségével kaphatsz meg), majd a 6x6-os esethez 16 X-et (itt látható).
Ezután a számok 7-től 7-ig sorrendben a következők: 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115 és 122. A matematikusok sok érdekes kutatást végeztek ezek működésével kapcsolatban, és a matematikusaid is nagyon jól szórakozhatnak vele!
