Egyiptomi törtek – 4
Körülbelül 4000 évvel ezelőtt az ókori egyiptomiak kifejlesztettek egy rendszert, amelyben minden frakciójuk a következő alakú volt:
1/n. Ezeket nevezzük Egyiptomi törtekNéhány egyiptomi tört felírható két tört különbségeként.
Egyiptomi törtek. Az ⅓ = ½ – ⅙ egy példa erre.
A KIHÍVÁS
Melyik egyiptomi törtek írhatók fel két egyiptomi tört különbségeként?
egyirányú? Melyek írhatók fel pontosan kétféleképpen? Vannak olyanok, amelyeknek több mint kétféleképpen is van?
1/N = 1/A – 1/B
Megjegyzések
A KIHÍVÁS
Fontos megjegyezni, hogy bármely n esetén korlátozott számú megoldás létezik. Ha 1/N = 1/A – 1/B, akkor 1/A – 1/N = 1/B > 0. Az 1/A – 1/N > 0 azt jelenti, hogy N > A. Tehát 1 < A < N, ami azt jelenti, hogy legfeljebb N – 2 megoldás van, és ezek – némileg fárasztó módon – az adott tartományban lévő A összes értékének ellenőrzésével találhatók meg.
Páros számú nevezők esetén, mondjuk 2d esetén mindig 1/2d = 1/d – 1/2d.
A különbségek előállításának egy másik módja az összeadási képlettel való kezdés. A legegyszerűbb képletünk az, hogy 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)]. Ez 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1)] formában jelenik meg. Ennek egy általánosabb változata az 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)], ami 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)] formában jelenik meg, ahol ab > 1.
Tehát, valahányszor a nevező felbontható a(a+b) alakban, ahol a és b pozitívak, és ab > 1, akkor különbséget kapunk. Különösen azért, mert minden n > 2 szám felírható n = 1 x (1 + (n-1)) alakban, akkor minden egyiptomi tört legalább egy módon felírható különbségként. Íme néhány példa:
- ⅓: a = 1, b = 2 esetén ½ – ⅙
- ¼: a = 1, b = 3, ami ⅓ – 1/12 értéket ad
- ⅕: a = 1, b = 4, ami ¼ – 1/20-ad
- ⅙: a = 1, b = 5 esetén ⅕ – 1/30; a = 2, b = 1 esetén ½ – ⅓
- 1/7: a = 1, b = 6, ami ⅙ – 1/42-et ad
- ⅛: a = 1, b = 7 esetén 1/7 – 1/56; a = 2, b = 2 esetén ¼ – 1/8
Ez még nem minden. Például kihagytuk az ⅙ = ¼ – 1/12 részt.
Merüljünk el egy kis algebrában. Ha a > 1 és b > a > 1, vegyük figyelembe az 1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab összefüggést. A nevezők törlése ab = n(ba) eredményt adja, n megoldása pedig n = ab/(ba) eredményt. Amikor megtaláljuk az a és b közötti különbséget, amely ezt lehetővé teszi, akkor képesek leszünk előállítani a különbséget.
Nézzük meg a teljes megoldásokat néhány példán keresztül ebből a szempontból, és nézzük meg, felfedezhetünk-e valamilyen mintát.
- 3 = 2 × 6 / (6 – 2)
- 4 = 2 × 4 / (4 -2) = 3 × 12 / (12 – 3)
- 5 = 4 × 20 / (20 – 4)
- 6 = 2 × 3 / (3 – 2) = 3 × 6 / (6 – 3) = 4 × 12 / (12 – 4) = 5 × 30 / (30 – 5)
- 7 = 6 × 42 / (42 – 6)
- 8 = 4 × 8 / (8 – 4) = 6 × 24 / (24 – 6) = 7 × 56 / (56 – 7)
Ezeket a példákat tekintve valószínűnek tűnik, hogy csak egyetlen megoldás van, ha n prímszám. Nézzük meg, miért van ez így. Ha n prímszám és a < n, akkor n = axb / (b – a) esetén b n többszöröse, mondjuk b = nx c. Ekkor n = ax nc / (nc – a) azt jelenti, hogy ac / (nc – a) = 1, ami azt jelenti, hogy ac = nc – a. Ezt átírva, nc = a(c + 1)-et kapunk. Mivel n prímszám, c + 1 = n és a = c = n – 1. Tehát a = n – 1 és b = n(n-1) az egyetlen megoldás.