Csempézési téglalapok
Két rejtvényed van. Egy 1 x n-es téglalapot hányféleképpen lehet kitölteni 1 x 1-es négyzetek és 1 x 2-es téglalapok keverékével? Egy 2 x n-es téglalapot hányféleképpen lehet kitölteni 1 x 2-es téglalapokkal?
A KIHÍVÁS
Miért adja ez a két rejtvény ugyanazt a választ? Milyen válaszokat kapunk, ha a kitöltendő téglalapok 10 hosszúak? Mi a helyzet akkor, ha 20 hosszúak?
FELFEDEZÉS
Miben hasonlít ez a két probléma egymáshoz és a korábbi rejtvényekhez? Hogyan változnak a dolgok az 1xn rejtvényben, ha ehelyett 1x1 és 1x3 darabokat használunk? Hogyan változnak a dolgok az 1xn rejtvényben, ha 1x1, 1x2 és 1x3 darabokat használunk?
Megjegyzések
A KIHÍVÁS
A korábbi eredmények egy új rejtvény egy részére vagy egészére való alkalmazásának megértése erőteljes készség.
Ez a két kirakós játék jellegében pontosan ugyanolyan. A 2xn téglalap függőleges darabjai az 1xn téglalap 1x1-es darabjainak felelnek meg, a 2xn téglalap vízszintes darabjai pedig az 1xn téglalap 1x2-es darabjainak. Tehát valójában nincs különbség a két kirakós játék között.
Az 1 x n téglalap rejtvény pontosan olyan, mint a „Fibonacci – 2” lépésrejtvénye. Lépésről lépésre haladni olyan, mintha egy 1 x 1-es négyzetet raknánk ki, és két lépésről lépésre haladni olyan, mintha egy 1 x 2-es téglalapot raknánk ki. A két rejtvény ugyanolyan, így az elemzés és az eredmények is ugyanazok.
FELFEDEZÉS
Ha 1 x 1-es és 1 x 3-as téglalapokat használunk, sok minden változik. Nézzük meg az első néhány értéket, és gondoljuk át, hogyan számítjuk ki őket. Az első néhány értékre 1, 1, 2, 3, 4, 6 és 9-et kapunk. Általában a következő érték az aktuális érték és a két lépéssel előtte lévő érték összege. Elég egyszerű kiszámítani, de ez már nem a Fibonnaci-sorozat.
Ha az 1 x 1, 1 x 2 és 1 x 3 formákat használjuk, a dolgok még drámaibbá válnak. Ekkor az első néhány értéket 1, 2, 4, 7, 13 és 24 adja meg. A sorozat következő értéke az előző három érték összege.
Az ilyen sorozatokat, amelyek a következő tagjaikat egy előző tagokat tartalmazó halmazképlettel definiálják, rekurzív sorozatoknak nevezzük. A Fibonacci-számok nem az egyetlen rekurzív sorozatok, de valószínűleg a leghíresebbek.