Kalkulator Rusak – 1
Anda memiliki kalkulator yang rusak parah. Tombol yang berfungsi hanyalah 4, 7, +, dan -. Bahkan dengan kemampuan terbatas ini, Anda dapat membuat setiap angka. Misalnya:
1 = 4 + 4 – 7
2 = 4 + 4 + 4 + 4 – 7 – 7
TANTANGAN
Tunjukkan bahwa kalkulator ini dapat menghasilkan semua angka dari 1 hingga 12.
EKSPLORASI
Gantikan angka 4 dan 7 dengan pasangan angka lainnya. Kapan mungkin untuk mendapatkan semua angka dari 1 hingga 12, dan kapan tidak mungkin? Dapatkah Anda melihat sepasang angka dan memprediksi apa yang akan terjadi?
Catatan
TANTANGAN
Para siswa sedang bereksperimen dengan semua angka yang dapat dihasilkan dengan mengambil kelipatan 4 apa pun dan menambahkannya ke kelipatan 7 apa pun. Tanpa diberi tahu, mereka sedang mengamati apa yang disebut Teorema Bezout. Teorema tersebut menyatakan bahwa semua kemungkinan kombinasi kelipatan (baik positif maupun negatif) dari dua bilangan adalah himpunan kelipatan dari faktor persekutuan terbesar (pembagi) dari kedua bilangan tersebut. Faktor persekutuan terbesar dari 4 dan 7 adalah 1, jadi kita seharusnya dapat memperoleh semua kemungkinan angka. Lebih jauh lagi, akan ada jumlah cara yang tak terbatas untuk mendapatkan masing-masing angka tersebut.
Berikut beberapa contoh angka dari 1 hingga 12:
- 1 = 4 + 4 – 7 = 9 x 4 – 5 x 7 = 16 x 4 – 9 x 7
- 2 = 7 + 7 – 4 – 4 – 4 = 6 x 7 – 10 x 4 = 10 x 7 – 17 x 4
- 3 = 7 – 4 = 5 x 7 – 8 x 4 = 9 x 7 – 15 x 4
- 4 = 4 = 4 x 7 – 6 x 4 = 8 x 7 – 13 x 4
- 5 = 3 x 4 – 7
- 6 = 2 x 7 – 2 x 4
- 7 = 7
- 8 = 2x4
- 9 = 3 x 7 – 3 x 4
- 10 = 2 x 7 – 4
- 11 = 4 + 7
- 12 = 3x4
Setelah Anda memiliki kombinasi untuk faktor persekutuan terbesar, Anda dapat menggunakannya untuk mendapatkan kelipatan faktor persekutuan terbesar apa pun. Untuk 4 dan 7, salah satu cara untuk mendapatkan 1 adalah dengan 2 x 4 – 7. Kita bisa mendapatkan angka lain, seperti 23, dengan menulis 23 = 23 (2 x 4 – 7) = 46 x 4 – 23 x 7. Setelah kita memiliki satu solusi untuk suatu angka, kita bisa mendapatkan semua solusi lainnya dengan menambahkan 0 ke angka tersebut (saya tahu itu terdengar aneh). Misalnya, kita memiliki 1 = 2 x 4 – 7 = (2 x 4 – 7) + (7 x 4 – 4 x 7) = 9 x 4 – 5 x 7). Kita dapat menambahkan kelipatan apa pun yang kita suka dari (7 x 4 – 4 x 7) dan itu tidak akan mengubah nilainya.
EKSPLORASI
Seperti yang disebutkan di atas, proses ini akan menghasilkan tepat semua kelipatan dari faktor persekutuan terbesar (FPB) dari kedua bilangan tersebut. Jika FPB tersebut adalah 1, maka semua bilangan akan dihasilkan.
Ambil contoh 4 dan 6. FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) mereka adalah 2. Kombinasi kelipatan 4 dan 6 akan selalu genap, sehingga tidak mungkin menghasilkan setiap angka. Hal ini menjadi lebih jelas jika Anda menganggap 4 dan 6 sebagai 2 kali 2 dan 3. Anda tahu bahwa jumlah kelipatan 2 dan 3 akan menghasilkan semua angka karena keduanya relatif prima. Namun, 4 dan 6 akan mengambil setiap jumlah tersebut dan mengalikannya dengan 2, jadi itulah mengapa Anda akan mendapatkan semua kelipatan 2!