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La Curva del Drago: Un magico viaggio matematico

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Aiyana si annoiava. Sua madre le diceva sempre che solo le persone noiose restano annoiate. Così, uscì per cercare qualcosa da fare. Con la coda dell'occhio, scorse una lunga e sottile striscia di carta per terra. "Chissà cos'è." La raccolse...

  1. In quali momenti ti sei sentito annoiato?
  2. Quali cose interessanti hai scoperto durante le tue passeggiate?
  3. Ti piace fare passeggiate da solo o preferisci la compagnia?
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Sembrava una strada!

  1. Una strada dritta sembra una linea retta. Cos'altro assomiglia a una linea retta?
  2. Riesci a pensare a qualcosa che continui ad andare avanti ininterrottamente per sempre?
  3. Brevi tratti di linee rette sono ottimi per creare forme. Puoi realizzare figure piane come triangoli, rettangoli (come questa pagina) e ottagoni (come i segnali di stop). Quali altre forme puoi creare in questo modo?
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Lei seguì la strada.

  1. Pensi che il pezzo di carta giallo sia così lungo, o sta usando la sua immaginazione?
  2. È divertente andare in esplorazione. Hai mai fatto una passeggiata in posti nuovi che non avevi mai visto prima?
  3. Sembra che dove si trova Aiyana nevichi e faccia freddo. Tu vivi in ​​un posto dove nevica?
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Aiyana iniziò la sua avventura immaginando un caldo sole e una brezza primaverile.

  1. Secondo te perché immaginava di trovarsi in un posto caldo?
  2. Perché alcuni di questi alberi hanno aghi e altri hanno rami spogli?
  3. Dove si trova Aiyana in questa foto? È forse in un cumulo di neve?
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Mentre camminava, afferrò entrambe le estremità della sua strada e la piegò a metà, ripiegando l'estremità sinistra verso destra. Poi la aprì... Mentre camminava, afferrò entrambe le estremità della sua strada e la piegò a metà, ripiegando l'estremità sinistra verso destra.

Poi lo aprì…

  1. Quando due linee si incontrano in un punto, formano un angolo. Se l'angolo è come quello dell'angolo di questa pagina, si dice angolo retto.
  2. Per seguire l'esempio di Aiyana, usa una striscia di carta molto lunga e sottile. Piega sempre nello stesso modo, ad esempio dall'estremità sinistra a quella destra. Quando apri le pieghe, disponi la striscia di carta in verticale, in modo che tutte le pieghe formino pavimenti o muri ad angolo retto.
  3. Ti piace piegare la carta per creare forme? Hai mai realizzato un semplice aeroplanino di carta in questo modo?
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Sembrava una montagna!

  1. Vedete intorno a voi degli oggetti in cui due linee formano un angolo retto? Probabilmente ce ne sono molti: quanti riuscite a trovarne?
  2. I rettangoli sono figure piane con quattro lati e angoli retti a ogni vertice. La pagina di questo articolo forma un rettangolo. Vedete dei rettangoli intorno a voi?
  3. I quadrati sono figure piane a quattro lati con quattro angoli retti e quattro lati della stessa lunghezza. Riesci a trovare dei rettangoli intorno a te che non siano quadrati? Riesci a trovare dei quadrati che non siano rettangoli? (non ce ne sono, ogni quadrato è un rettangolo)
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Seguì la strada e scalò la montagna

  1. Secondo te, fino a che punto in alto su questa montagna arriva la strada?
  2. Pensi di riuscire ad arrivare in cima a questa montagna?
  3. Abitate vicino alle montagne o in una zona pianeggiante?
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Dalla cima di quella montagna, Aiyana poteva scorgere un mondo completamente nuovo. "Cosa succederebbe se piegassi di nuovo il mio foglio?"

  1. Questa illustrazione mostra Aiyana in piedi sulla cima di una montagna. Riesci a immaginarti in piedi sulla cima di una montagna?
  2. Quanto lontano si riesce a vedere dalla cima di una montagna? Quando ti guardi intorno da dove ti trovi ora, quali ostacoli ti impediscono di vedere lontano?
  3. Queste montagne hanno cime che culminano in una vetta. Avete mai visto immagini di montagne con cime arrotondate? Perché alcune montagne sono arrotondate mentre altre hanno cime appuntite?
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Ripiegò la sua montagna e la piegò di nuovo a metà, ripiegando l'estremità sinistra su quella destra. Poi la aprì...

  1. Quante pieghe ha fatto finora? (2)
  2. Prevedi quanti segmenti dritti ha adesso? (4)
  3. Quali sono alcuni oggetti che pieghi per riporli? Quante volte li pieghi? Li pieghi sempre a metà, oppure a volte li pieghi in terzi (tre parti uguali) o in quarti (quattro parti uguali)?
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Sembrava un fiore!

  1. Quali altre cose assomigliano ai quattro segmenti di linea nell'illustrazione? (Un punto interrogativo è uno di questi.)
  2. Una stima è una supposizione fondata. Senza contare, fai una stima di quanti piccoli semi ci sono in questo fiore. Poi conta i semi per vedere quanto ti avvicini alla realtà.
  3. Fare stime è un gioco divertente da fare in compagnia. Fate una stima rapida di ciò che vedete, poi contate per vedere chi si è avvicinato di più.
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Percorse la strada, scalò la montagna e sollevò il fiore in alto.

  1. Riesci a capire in che direzione soffia il vento?
  2. I semi dei denti di leone hanno l'aspetto di questa illustrazione. Questi fiori crescono in molte parti del mondo. Avete fiori simili vicino a dove vivete?
  3. Le piante tendono a diffondersi in nuovi luoghi. In che modo il fatto di avere semi che possono essere dispersi dal vento aiuta una pianta a propagarsi?
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Aiyana osservava i semi portati via dalla brezza, chiedendosi dove li avrebbe condotti il ​​vento. Non si annoiava più!

  1. Secondo te come si sente adesso? Perché non si annoia più? Cosa è cambiato?
  2. Quando ti annoi, ti lasci sopraffare dalla noia o cerchi di trovare qualcosa di interessante da fare?
  3. Chiedersi dove sarebbero finiti i semi era un modo per non annoiarsi. Ti vengono in mente altre domande che Aiyana potrebbe porsi per non annoiarsi?
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Ripiegò il fiore e lo piegò di nuovo a metà, nello stesso modo di prima.

Poi lo aprì…

  1. Prova a immaginare che aspetto avrebbe un fiore piegato a metà.
  2. L'origami è un'arte giapponese che si realizza piegando la carta. In genere si utilizza un foglio di carta quadrato. Hai mai realizzato una gru con la tecnica dell'origami?
  3. Potresti divertirti a esplorare alcuni bellissimi modelli per piegare tovaglioli e pezzi di stoffa in forme di animali e altre figure.
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Sembrava una capra di montagna!

  1. Il kirigami è una forma d'arte giapponese che combina la piegatura e il taglio di un foglio di carta. La tecnica più semplice consiste nel piegare un foglio una sola volta e ritagliare una forma, come un viso, un albero o un fiore.
  2. Esistono molti modi per ottenere simmetria. Forse il più comune è la simmetria speculare. Se pieghi un foglio di carta una volta e lo tagli, il disegno risultante avrà sempre una simmetria speculare. Molte cose al mondo presentano simmetria speculare: ti vengono in mente alcuni esempi? (volti, corpi, alcuni motivi di piastrellatura, la maggior parte delle sedie)
  3. Il foglio piegato che Aiyana sta realizzando non ha simmetria speculare. Tuttavia, se prendi metà del disegno e la ruoti di un quarto di giro, otterrai l'altra metà. Prova!
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Lei percorse la strada, scalò la montagna, sollevò il fiore in alto e sorrise alla capra di montagna.

  1. Il fiore che tiene in mano sembra diverso da quello che teneva prima. Senza guardare indietro, in cosa è diverso e in cosa è simile?
  2. Il fiore che Aiyana tiene in mano presenta simmetria speculare?
  3. Se ruoti leggermente il fiore di Aiyana attorno al suo centro, ha lo stesso aspetto? Questo è un altro tipo di simmetria, chiamata simmetria rotazionale. Noti oggetti intorno a te che presentano simmetria rotazionale?
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Aiyana osservava la capra di montagna in equilibrio sulla scogliera rocciosa. "Quanto più in alto riuscirà ad arrampicarsi?" Ora Aiyana era curiosa! Cos'altro avrebbe potuto scoprire?

  1. Quanto è buono il tuo equilibrio? Riesci a stare in equilibrio su un piede solo? Riesci a stare in equilibrio sulla cima di una grossa roccia?
  2. Un numero pari è un numero che può essere diviso in due parti intere di pari numero. Elenca alcuni numeri pari. Elenca alcune parti della capra di montagna di cui esiste un numero pari. (occhi, corna, zampe)
  3. Se si osserva la capra di montagna frontalmente, si nota una simmetria speculare. In presenza di simmetria speculare, gli elementi che non si trovano sulla linea centrale compaiono un numero pari di volte. Quali parti della capra di montagna si trovano sulla linea centrale?
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Ripiegò la sua capra di montagna e la piegò di nuovo a metà. Poi la aprì...

  1. Quante pieghe ci sono e in quanti segmenti di linea sarà diviso il foglio? (4, 16)
  2. Ogni volta che il foglio viene piegato, cosa succede al numero di segmenti di linea che contiene? (raddoppia)
  3. I fiori che tiene in mano ora sono gli stessi di quelli precedenti? Descrivi le differenze.
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Sembrava una nuvola!

  1. Ogni volta che viene mostrata una nuova forma, questa viene rappresentata all'interno di un cerchio. Secondo te, perché l'artista fa questo?
  2. Quanti cerchi riesci a trovare intorno a dove ti trovi ora?
  3. I cerchi possono avere dimensioni diverse, ma hanno tutti la stessa forma. Quando due figure hanno la stessa forma, si dice che sono simili. Alcune di queste nuvole sono simili tra loro?
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Percorse la strada, scalò la montagna, sollevò il fiore in aria, sorrise alla capra di montagna e alzò lo sguardo verso le nuvole.

  1. Uno schema è una sequenza di elementi che obbediscono a una regola. In questo caso, la regola è che le azioni seguono la sequenza delle forme che si formano piegando la carta. Finora ci sono cinque elementi nello schema. Cosa pensi che ci sarà dopo?
  2. È possibile creare sequenze di suoni in moltissimi modi. Ad esempio, si può creare una sequenza di suoni ripetuta. Un esempio potrebbe essere: batti le mani batti le mani pesta i piedi, batti le mani batti le mani pesta i piedi.
  3. Riesci a creare uno schema con i numeri? Ecco l'inizio di due schemi: riesci ad ampliarli? 2, 4, 6, 8, 10 e 1, 4, 2, 5, 3, 6, 4, 7.
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Mentre il calore del sole pomeridiano cominciava ad affievolirsi, Aiyana immaginava tutte le diverse forme che poteva scorgere nel cielo.

  1. Vi è mai capitato di guardare le nuvole e immaginare che avessero la forma di animali o di altre cose che conoscete? Se sì, cosa avete visto?
  2. Riuscite a scorgere delle forme familiari in queste nuvole? Cosa pensate che stia vedendo Aiyana?
  3. Aiyana sta immaginando che sia una giornata di sole. Se è solo frutto della sua immaginazione, perché il sole non può rimanere alto tutto il tempo?
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Ripiegò la sua nuvola e la piegò di nuovo a metà.

Poi lo aprì…

  1. Hai scelto un foglio di carta abbastanza lungo da poterlo piegare senza problemi? In caso contrario, puoi sempre ricominciare con un foglio più lungo. Puoi creare un unico foglio lungo unendone diversi più corti.
  2. Se continui a piegare un foglio di carta a metà ripetutamente, quante volte pensi di poterlo fare prima che diventi troppo difficile? Cinque, sei, sette, otto, nove, dieci? Qual è il numero massimo di volte che sei riuscito a piegare?
  3. Ogni volta che pieghi un foglio di carta, il suo spessore raddoppia. Se inizialmente è spesso 1 mm, quanto sarà spesso dopo 4 pieghe? (16 mm). Quanto sarà spesso dopo un totale di 8 pieghe? (256 mm - oltre un quarto di metro!)
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Sembrava una barca a vela!

  1. Hai mai viaggiato su una barca che solca l'acqua? Sei mai stato su una barca a vela? Le barche a vela possono andare molto veloci nelle giornate ventose, ma possono avere difficoltà se l'aria è calma.
  2. Le vele di una barca a vela sono come degli aquiloni. Hai mai fatto volare un aquilone o visto qualcuno farlo volare?
  3. Quante vele ha questa barca a vela? Perché pensi che ne abbia così tante?
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Seguì la strada, scalò la montagna, sollevò il fiore in alto, sorrise alla capra di montagna, guardò le nuvole e salì a bordo della barca a vela.

  1. La barca a vela è stata aggiunta alla fine dell'elenco. Riesci a recitare questo elenco di sei passaggi senza guardare la storia?
  2. Può essere divertente recitare qualcosa a memoria. Sai recitare a memoria storie o poesie, o cantare canzoni?
  3. Hai una canzone preferita che ti piace cantare? Che sensazioni provi quando la canti?
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Aiyana era entusiasta di scoprire dove l'avrebbe portata la barca a vela.

La luna fece capolino all'orizzonte mentre il giorno cominciava a trasformarsi in notte.

  1. Di notte il sole non è visibile. La luna è sempre visibile di notte? Hai mai visto la luna di giorno?
  2. Quando c'è la luna piena di notte, l'ambiente circostante è sufficientemente illuminato da permettere una buona visibilità. Ti piace fare passeggiate notturne durante la luna piena?
  3. Che fine fa il sole di notte? Viene distrutto o è ancora visibile ad alcune persone?
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Ripiegò la sua barca a vela e la piegò di nuovo a metà.

Poi lo aprì…

  1. Quante pieghe ci sono state e quanti segmenti di linea ci saranno? (6, 64)
  2. Scrivi la sequenza dei conteggi per i segmenti di linea finora: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Creare un elenco o una tabella dei tuoi dati è un buon modo per individuare degli schemi nei dati.
  3. Quando si moltiplica un numero per se stesso più volte, si dice che lo si eleva a una potenza. L'elenco dei numeri - 1, 2, 4, 8, 16 - sono potenze di 2. Ad esempio, 2 x 2 x 2 x 2 è 2 elevato alla quarta potenza, che è 16.
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Sembrava un fiume!

  1. Guardate quanto è sinuoso questo fiume. I fiumi naturali sono sempre tortuosi perché hanno bisogno di un modo per disperdere tutta l'energia dell'acqua che scorre in discesa. Immaginate quanto velocemente scorrerebbe l'acqua se andasse in linea retta!
  2. Avere un fiume che scorre tutt'intorno è un po' come aver bisogno di correre. Ogni tanto bisogna correre per sfogare l'energia in eccesso. Cosa fai quando ti senti troppo pieno di energia?
  3. Abitate vicino a una piscina, un fiume, uno stagno o un altro specchio d'acqua? Vi piace nuotare o galleggiare nell'acqua?
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Seguì la strada, scalò la montagna, sollevò il fiore in aria, sorrise alla capra di montagna, guardò le nuvole, salì a bordo della barca a vela e navigò lungo il fiume.

  1. Aiyana ha immaginato una lunga storia composta da tutte le forme del suo foglio piegato. Trova degli oggetti vicino a te e inventa una storia che li coinvolga.
  2. Lei ha una mappa che parte dalla strada dritta e passa attraverso le varie tappe. Hai mai provato a trovare la strada per qualcosa usando una mappa?
  3. Una mappa è una versione in scala ridotta del mondo reale. Di solito ha la stessa forma di ciò che rappresenta, ma è molto più piccola. Per usare il termine che abbiamo usato prima, questo significa che il mondo reale e una mappa hanno forme simili.
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Aiyana si godeva l'impeto selvaggio dell'acqua e il vento tra i capelli mentre gli ultimi raggi di luce svanivano.

  1. Dove si trova la capra di montagna su questa mappa? La mappa ha posizionato la capra di montagna nel posto sbagliato?
  2. I fiumi scorrono da un luogo più elevato a uno più basso. Pensi che il fiume dovrebbe scorrere fuori dalle montagne?
  3. Pensi che il fiume sia abbastanza largo da permettere a quella grande barca a vela di navigare?
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Ripiegò il suo fiume e lo piegò di nuovo a metà.

Poi lo aprì…

  1. La piegatura di un fiume creerà due fiumi, un fiume più lungo o qualcos'altro?
  2. Provate a indovinare che forma avrà questa volta.
  3. Pensi che riuscirà a continuare a piegare il suo foglio di carta per sempre? Riuscirà a creare sempre nuove forme? Cosa potrebbe fermarla?
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Sembrava un drago!

  1. Se guardate con molta attenzione, potete individuare ciascuna delle forme precedenti come parte delle curve di questo drago.
  2. Se contate le forme che compongono questo drago, troverete 2 fiumi, 4 barche a vela, 8 nuvole, 16 capre di montagna, 32 fiori e 64 montagne. Perché il numero continua a raddoppiare? (Ogni volta che piegate, create il doppio delle forme che avete già.)
  3. Hai mai visto immagini di draghi? Descrivi ciò che sai sui draghi. I draghi sono reali o immaginari?
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Lei seguì la strada, scalò la montagna, tenne il fiore in alto, sorrise alla capra di montagna, guardò le nuvole, salì a bordo della barca a vela, navigò lungo il fiume e saltò sul dorso del drago.

Aiyana e il drago si librarono in volo nel cielo notturno stellato.

Poteva vedere il mondo laggiù, molto più in basso, pieno di splendidi disegni.

  1. Quali parti del drago possiamo vedere in questa immagine?
  2. Hai mai immaginato come sarebbe poter volare?
  3. Immagina un uccello così grande che potresti sdraiarti sulla sua schiena e volare nel cielo!
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  1. Sembra felice mentre cavalca il suo drago. Pensi che ti piacerebbe cavalcare un drago, o ti farebbe paura, o forse entrambe le cose?
  2. Secondo te come si sente un drago ad avere una persona sulla schiena?
  3. È risaputo che i draghi sputano fuoco. Sarebbe uno spettacolo incredibile da vedere nel cielo notturno! Pensi che questo drago sia in grado di farlo?
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Aiyana afferrò entrambe le estremità del suo drago e lo ripiegò su se stesso. Provò a piegarlo di nuovo a metà, ma era troppo difficile!

  1. Aiyana è riuscita a piegare il suo foglio solo sette volte. Tu, quante pieghe sei riuscito a fare?
  2. Due elevato alla settima potenza fa 128, quindi ci sono 128 segmenti di linea nel drago di Aiyana.
  3. Immagina quanto sarebbero grandi le potenze di tre. Quali sono le prime potenze di tre? (1, 3, 9, 27, 81)
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Aiyana e il suo drago si voltarono e si incamminarono verso casa. Lei guardò il fiume, scorse la barca a vela, fluttuò tra le nuvole, salutò la capra di montagna, ammirò i campi pieni di fiori, contemplò con stupore le montagne e, in lontananza, scorse il minuscolo tratto di strada dove era iniziata la sua avventura.

  1. Le immagini nella pagina precedente e in questa mostrano tutte le forme di cui abbiamo sentito parlare in questa storia, tranne una. Quale manca?
  2. Nelle figure presenti in questa pagina, alcuni quadrati sono completi e altri sono solo parziali. Pensi che ci sia uno schema che determini il numero di quadrati completi?
  3. Pensate ad altre domande su questi segmenti di linea: è un'avventura completamente nuova!
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Aiyana sentì sua madre che la chiamava.

“Aiyana, è ora di prepararsi per andare a letto.”

Salì i gradini che portavano alla porta d'ingresso e guardò il drago volare via alla luce della luna.

I fiocchi di neve turbinavano a terra mentre Aiyana infilava la striscia di carta in tasca per conservarla per un altro giorno.

  1. Fuori non fa più caldo. Cos'è cambiato?
  2. La prossima volta che tirerà fuori il suo foglio di carta, pensi che troverà nuovi modi di piegarlo, oppure sceglierà di riutilizzare le forme a lei più familiari?
  3. Quando parti per un'avventura, preferisci andare in posti che conosci e che ti piacciono, oppure ti metti alla prova esplorando luoghi nuovi e vivendo esperienze inedite?
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Poi ha osservato attentamente uno dei fiocchi di neve…

  1. Elenca alcune caratteristiche che noti di questi fiocchi di neve. (Hanno sei protuberanze, presentano simmetria speculare, presentano simmetria rotazionale, alcuni sono simili ad altri)
  2. Pensi che ci sia un modo per creare questi fiocchi di neve simile a quello utilizzato per realizzare la Curva del Drago?
  3. Scoprire nuovi modi di guardare le cose familiari ti fa capire quanto il mondo abbia da offrirti. Mantieni uno sguardo fresco e una mente aperta per goderti tanti magici viaggi matematici!
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Ecco le forme create eseguendo 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 pieghe.

Puoi farlo da solo. Prendi una lunga striscia di carta e piegala a metà, piegando l'estremità sinistra verso destra, per esempio. Poi aprila in modo da formare un angolo di 90 gradi. Ora guarda la tua carta: ha una piega. Ripiega la carta e poi piegala di nuovo a metà.
Allo stesso modo, dall'estremità sinistra verso destra. Ora, quando lo riapri, mantenendo tutti gli angoli a 90 gradi (come pavimenti e pareti), avrai pieghe diverse che vanno in direzioni diverse.

Quando metti la striscia di carta in verticale, vedrai un motivo affascinante, pieno di quadrati e angoli di 90 gradi, che si orientano in ogni direzione.

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Queste sono le forme create eseguendo 7, 8, 9, 10, 11 e 12 pieghe.

Dopo cinque o sei pieghe, il foglio piegato inizia ad assomigliare a un drago. Se continuassi a piegare il foglio all'infinito, ogni piega creerebbe un drago più complesso. La curva del drago è una curva che riempie lo spazio; ad ogni nuova piega del foglio, lo spazio tra le pieghe si riduce e il disegno diventa più dettagliato.

È possibile disporre più draghi per creare disegni entusiasmanti. Collega due draghi testa a coda per formare un drago di dimensioni maggiori. Unisci quattro draghi testa a testa per creare una spirale. Collega più draghi per le code per ricoprire una superficie. Esistono molti modi per ruotare, riflettere e far scorrere i draghi per creare splendide opere d'arte geometriche.

Copyright e ringraziamenti

Autrice: Alicia Burdess
Illustratrice: Katrina Shirley
Annotazioni: Chris Wright

©Copyright 2021 di Alicia Burdess. È concessa l'autorizzazione a realizzare e distribuire copie digitali elettroniche di quest'opera senza modifiche e senza alcun fine commerciale. Non è consentita alcuna altra forma di riproduzione di alcuna parte di quest'opera senza l'autorizzazione scritta del detentore del copyright.

Ringraziamenti dell'autore: Un ringraziamento straordinario ai miei eroi della matematica che hanno cambiato la mia vita mostrandomi cosa significa imparare e insegnare matematica: Norma Lachance, Jessie Shirley, Marj Farris, Geri Lorway, Grayson Wheatley, Peter Liljedahl, Annette Rouleau, James Tanton, Nathalie Sinclair, Rina Zazkis, David Pimm, Sunil Singh, Jo Boaler e David Martin. Mi avete fatto scoprire la bellezza e la gioia dei modelli e della risoluzione dei problemi, dell'apprendimento profondo, del lavoro di gruppo collaborativo e delle "Classi Pensanti". Grazie per essere stati parte integrante del mio percorso matematico!

Un ultimo ringraziamento a Katrina Shirley. Senza di te, Aiyana e la sua storia non avrebbero mai potuto essere conosciute.

Ringraziamenti dell'illustratore: Alle due donne più influenti della mia vita: mia madre e mia nonna. Grazie.

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