Calcolatrice rotta – 1
Hai una calcolatrice gravemente rotta. Gli unici tasti funzionanti sono 4, 7, + e -. Anche con questa capacità limitata, è possibile formare qualsiasi numero. Ad esempio:
1 = 4 + 4 – 7
2 = 4 + 4 + 4 + 4 – 7 – 7
LA SFIDA
Dimostra che questa calcolatrice può creare tutti i numeri da 1 a 12.
ESPLORAZIONE
Sostituisci 4 e 7 con altre coppie di numeri. Quando è possibile ottenere tutti i numeri da 1 a 12 e quando è impossibile? Riesci a prevedere cosa succederà guardando una coppia di numeri?
Note
LA SFIDA
Gli studenti stanno sperimentando tutti i numeri che si possono ottenere sommando un qualsiasi multiplo di 4 a un qualsiasi multiplo di 7. Senza che glielo venga detto, stanno esaminando quello che viene chiamato il teorema di Bézout. Questo teorema afferma che tutte le possibili combinazioni dei multipli (sia positivi che negativi) di due numeri costituiscono l'insieme dei multipli del massimo comune divisore dei due numeri. Il massimo comune divisore di 4 e 7 è 1, quindi dovremmo essere in grado di ottenere tutti i numeri possibili. Inoltre, ci sarà un numero infinito di modi per ottenere ciascuno di essi.
Ecco alcuni esempi per i numeri da 1 a 12:
- 1 = 4 + 4 – 7 = 9 x 4 – 5 x 7 = 16 x 4 – 9 x 7
- 2 = 7 + 7 – 4 – 4 – 4 = 6 x 7 – 10 x 4 = 10 x 7 – 17 x 4
- 3 = 7 – 4 = 5 x 7 – 8 x 4 = 9 x 7 – 15 x 4
- 4 = 4 = 4 x 7 – 6 x 4 = 8 x 7 – 13 x 4
- 5 = 3 x 4 – 7
- 6 = 2 x 7 – 2 x 4
- 7 = 7
- 8 = 2 x 4
- 9 = 3 x 7 – 3 x 4
- 10 = 2 x 7 – 4
- 11 = 4 + 7
- 12 = 3 x 4
Una volta trovata la combinazione per il massimo comune divisore, è possibile utilizzarla per ottenere qualsiasi multiplo di tale fattore. Per 4 e 7, un modo per ottenere 1 è 2 x 4 – 7. Possiamo ottenere qualsiasi altro numero, come 23, scrivendo 23 = 23 (2 x 4 – 7) = 46 x 4 – 23 x 7. Una volta trovata una soluzione per un numero, possiamo ottenere tutte le altre soluzioni aggiungendo 0 (so che sembra strano). Ad esempio, abbiamo 1 = 2 x 4 – 7 = (2 x 4 – 7) + (7 x 4 – 4 x 7) = 9 x 4 – 5 x 7). Possiamo aggiungere qualsiasi multiplo di (7 x 4 – 4 x 7) e il valore non cambierà.
ESPLORAZIONE
Come accennato in precedenza, questo processo produrrà esattamente tutti i multipli del massimo comune divisore dei due numeri. Se tale massimo comune divisore è 1, verranno prodotti tutti i numeri.
Prendiamo ad esempio 4 e 6. Il loro massimo comune divisore (MCD) è 2. Qualsiasi combinazione di multipli di 4 e 6 sarà sempre pari, quindi è impossibile ottenere tutti i numeri possibili. Questo diventa più evidente se si pensa a 4 e 6 come 2 per 2 e 3. Sappiamo che le somme dei multipli di 2 e 3 producono tutti i numeri possibili perché sono relativamente primi. Tuttavia, 4 e 6 prenderanno ciascuna di queste somme e le moltiplicheranno per 2, ed è per questo che otterremo tutti i multipli di 2!