Trovare i quadrati – 1
In questa griglia, disegnati in rosso, ci sono due quadrati 1x1 e un quadrato 2x2 con lati orizzontali e verticali.
LA SFIDA
Trova il numero di quadrati di tutte le dimensioni con lati orizzontali e verticali in questa griglia.
ESPLORAZIONE
Prova a utilizzare griglie ancora più grandi. Riesci a trovare un metodo sistematico per contare tutti i quadrati? Come cambia la tua risposta, se cambia, se la griglia di punti è un rettangolo e non un quadrato?
Note
LA SFIDA
I quadrati possibili hanno lati di lunghezza compresa tra 1 e 4.
Per ogni dimensione del quadrato, considera l'angolo in alto a sinistra come la posizione di partenza. Puoi produrre tutti i quadrati di questa dimensione nella griglia spostando questo quadrato iniziale. Hai la possibilità di spostarlo a destra o in basso del numero di posizioni rimanenti. Queste sono scelte indipendenti, quindi ottieni quadrato di quella dimensione quadrato.
Ad esempio, supponiamo di contare i quadrati 1x1 in questa griglia 4x4. Un quadrato 1x1 nell'angolo in alto a sinistra può essere spostato di 1 o 2 caselle a destra e di 1 o 2 caselle in basso. Quindi ci sono 3 posizioni possibili in orizzontale (contando la posizione originale) e 3 posizioni possibili in verticale. Pertanto, ci sono 3 x 3 di questi quadrati 1x1.
Per il problema originale con griglia 4x4, si ottiene il seguente conteggio:
- 1 per 1 quadrati: 3 x 3 = 9
- 2 per 2 quadrati: 2 x 2 = 4
- 3 per 3 quadrati: 1 x 1 = 1.
Ci sono in totale 3 x 3 + 2 x 2 + 1 x 1 = 9 + 4 + 1 = 14 quadrati possibili.
ESPLORAZIONE
Per qualsiasi griglia quadrata, il numero totale di quadrati sarà la somma dei numeri dei quadrati inferiori alla dimensione della griglia. Ad esempio, una griglia 7x7 avrà 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91 quadrati.
Le griglie rettangolari sono quasi altrettanto facili da contare. La dimensione minore del rettangolo limiterà la dimensione massima dei quadrati possibili. Contateli in modo simile al caso della griglia quadrata. Invece di considerare il caso generale, facciamo un esempio illustrativo.
Supponiamo di dover contare i quadrati in una griglia 5x7. Poiché ci sono solo 5 righe, nessun quadrato può essere più grande di 4x4.
- 1 per 1 quadrati: 4 x 6 = 24
- 2 per 2 quadrati: 3 x 5 = 15
- 3 per 3 quadrati: 2 x 4 = 8
- 4 per 4 quadrati: 1 x 3 = 3
Il numero totale di quadrati è 24 + 15 + 8 + 3 = 50.