Quadrati magici – 3
In un quadrato magico , la somma di tutti i lati di righe, colonne e diagonali è sempre uguale. Il primo quadrato non è un quadrato magico. Il secondo, invece, è un quadrato magico con una somma costante di 12.
LA SFIDA
Utilizza ciascuno dei numeri da 0 a 8 una sola volta per completare questo Quadrato Magico.
ESPLORAZIONE
Riesci a trovare più di un modo per farlo? Cosa hanno in comune i diversi metodi? Come cambierebbe la tua risposta se usassi i numeri da 1 a 9? E se usassi i numeri pari da 2 a 18?
Note
LA SFIDA
Lasciate che i vostri studenti giochino con questo. Se prestano attenzione a ciò che fanno, scopriranno relazioni interessanti e ne trarranno grande beneficio. Per gli studenti più giovani, non c'è assolutamente bisogno di un'analisi approfondita. Quello che segue è un metodo più analitico per trovare le soluzioni.
Somma comune: Il modo più semplice per iniziare ad analizzare questo puzzle è trovare la somma comune. La somma di ogni riga è pari alla somma comune. Inoltre, le tre righe contengono i numeri da 0 a 8 e la loro somma è pari a tre volte la somma comune. Pertanto, tre volte la somma comune è 36 (la somma da 0 a 8), quindi la somma comune è 12.
Quadrato centrale: Il passo successivo è sommare le quattro linee che passano per il quadrato centrale. La somma comune è 12 e ci sono quattro linee, quindi la loro somma deve essere 4 x 12 = 48. In alternativa, le quattro linee contengono ogni numero una volta, più il quadrato centrale altre tre volte. La somma dei numeri da 0 a 8 è 36. Quindi, 48 è uguale a 36 più 3 volte il quadrato centrale. Pertanto, il quadrato centrale deve essere 4.
Sommare fino a 12: Ci sono sorprendentemente pochi modi per sommare fino a 12. Essi sono:
(0 4 8) (1 4 7) (2 4 6) (3 4 5) (0 5 7) (1 3 8) (1 5 6) (2 3 7)
Da questo elenco si possono ricavare molte informazioni. Basta osservare con quale frequenza un numero compare in una tripletta:
- 4 volte: 4
- 3 volte: 1, 3, 5, 7
- 2 volte: 0, 2, 6, 8
Successivamente, confronta questo con quante volte un quadrato nel diagramma si trova su una delle linee. Noterai che il quadrato centrale si trova su quattro linee, i quadrati agli angoli su tre linee e il punto medio dei lati su due linee. Questo è un altro modo per vedere che il quadrato centrale deve essere 4. Inoltre, gli angoli devono essere 1, 3, 5 e 7, e il punto medio dei lati deve essere 0, 2, 6 e 8.
Riempi il quadrato: il lavoro più difficile è fatto. Inizia con 4 al centro e metti 7 in un angolo. Nota che 0 deve andare accanto a 7 da un lato o dall'altro (altrimenti l'8 sarebbe forzato accanto al 7). Dopodiché non avrai altre scelte. Una soluzione, riga per riga, è: (7 0 5) (2 4 6) (3 8 1). Nota che questa è la stessa di qualsiasi altra soluzione ruotando il quadrato ed eventualmente capovolgendolo.
ESPLORAZIONE
Come accennato nel paragrafo precedente, tutte le soluzioni sono essenzialmente le stesse: ruotare il quadrato finché i 7 non si trovano nello stesso angolo e, se necessario, creare l'immagine speculare lungo la diagonale per posizionare lo 0 nella stessa posizione.
Risolvere questo enigma per i numeri da 1 a 9 significherebbe aggiungere 1 a ogni elemento della soluzione da 0 a 8. Risolvere questo enigma per i numeri da 2 a 18 significherebbe raddoppiare tutti gli elementi della soluzione da 1 a 9.