エジプトの分数 – 2
約4000年前、古代エジプト人は分数の特別な表記法を発達させました。分子が1である分数（⅓や⅛など）は彼らにとって重要であり、エジプト分数とも呼ばれています。エジプト人は、分数を重複のないエジプト分数の和であるエジプト分数和として表記しました。例えば、⅞はエジプト分数和⅞ = ½ + ¼ + ⅛と表記されました。
チャレンジ
39/50を、できるだけ少ない分数を用いてエジプト式分数で表しなさい。
39/50 = 1/A + 1/B + …
探鉱
あなたの回答は絶対的に最良のものですか？もしそうなら、その理由は何ですか？
Notes
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チャレンジ
この問題に対処するには、可能な限り最大のエジプト分数を差し引いて、残りの部分を確認すると良いでしょう。これはどんな分数にも適用できますが、必ずしも最小のエジプト分数になるとは限りません。
まず、39/50 > ½ なので、39/50 = ½ + 14/50 = ½ + 7/25 となります。
7/25 > ¼ なので、次に ¼ を引きます。39/50 = ½ + ¼ + 3/100。
最後に、3/100 = 2/100 + 1/100 = 1/50 + 1/100 となります。
これらをまとめると、39/50 = ½ + ¼ + 1/50 + 1/100 となります。
探鉱
より少ない分数が可能かどうかを分析するための近道は知りません。
3つの分数を使うことが可能かどうか考えてみましょう。最も大きい分数は少なくとも⅓でなければなりません。そうでなければ、3つの分数の合計の最大値は¼ + ⅕ + ⅙となり、それでは十分な大きさになりません。
- 最大の分数は ½ です。残りの値は 39/50 – ½ = 7/25 です。残りの 2 つの分数のうち大きい方は少なくとも 1/7 でなければなりません。これにより、検討すべき可能性は ½ + ¼、½ + 1/5、½ + 1/6、および ½ + 1/7 の 4 つになります。
- 最大の分数は ⅓ です。残りの値は 39/50 – ⅓ = 67/150 です。残りの 2 つの分数のうち大きい方は少なくとも ⅕ でなければなりません。したがって、検討すべき可能性は ⅓ + ¼ と ⅓ + ⅕ の 2 つになります。
見た目は良くない。しかし、3つの分数がうまくいかないことを確認するための組み合わせはそれほど多くない。