튕기는 당구공
도전 과제
가로 3인치, 세로 4인치 당구대의 왼쪽 아래 모서리에서 45도 각도로 당구공을 쏘면 오른쪽 아래 모서리에 닿기 전에 5번 튕깁니다. 가로 4인치, 세로 7인치 당구대의 왼쪽 아래 모서리에서 시작하면 당구공은 모서리 중 하나에 닿기 전에 몇 번 튕길까요?
탐사
다른 크기의 테이블의 경우, 어느 모서리에 먼저 공이 맞을지, 그리고 몇 번 튕길지 예측할 수 있나요? 문제를 단순화하는 데 도움이 되도록 기하학적 개념을 활용할 수 있을까요?
노트
도전과 탐험
그래프 용지를 사용하여 어떤 결과가 나오는지 관찰하는 것만으로도 이 실험을 재미있게 즐길 수 있습니다. 또한, 보다 체계적이고 엄밀한 방식으로 접근할 수도 있습니다.
가장 먼저 알아야 할 점은 테이블의 크기보다 모양이 더 중요하다는 것입니다. 서로 닮은 직사각형(변의 길이 비율이 같은 직사각형)은 모두 동일한 결과를 제공합니다. 따라서 3x4 테이블은 6x8 테이블이나 9x12 테이블과 같은 효과를 냅니다.
이 시점에서 유용한 연습은 1xn 테이블과 2xn 테이블에 대해 어떤 결과가 나오는지 수집하는 것입니다.
- 1 x n: 공은 n-1번 튕긴 후 n이 짝수이면 오른쪽 아래 모서리에, n이 홀수이면 오른쪽 위 모서리에 멈춥니다.
- 2xn: n=2k인 경우, 2x2k 테이블은 1xk 테이블처럼 동작합니다(두 테이블이 유사하기 때문입니다). 2x(2k+1) 테이블에서 공은 n번 튕기고 왼쪽 위 모서리에 멈춥니다.
몇 차례 더 실험해 본 결과 일반적인 결과가 나왔습니다!
결과
k와 n에 공통 인수가 없다면, ak x n 테이블은 k + n – 2번 튕깁니다. k가 짝수이면 공은 왼쪽 위 모서리에 멈춥니다. k가 홀수이면, n이 홀수일 경우 공은 오른쪽 위 모서리에, n이 짝수일 경우 오른쪽 아래 모서리에 멈춥니다. k와 n에 공통 인수가 있다면, 그 인수들을 약분하고 그 결과를 약분된 수에 적용하면 됩니다.
이를 더 쉽게 관찰할 수 있는 재미있는 방법 중 하나는 공이 튀는 궤적을 "펼쳐보는" 것입니다. 그림처럼 테이블을 격자 모양으로 배치하고 공이 모든 테이블 위를 직선으로 통과하도록 해보세요!
